【題目】在學(xué)習(xí)《圓》這一單元時,我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的推論:圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ);事實(shí)上,它的逆命題:對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)共圓,也是一個真命題.在圖形旋轉(zhuǎn)的綜合題中經(jīng)常會出現(xiàn)對角互補(bǔ)的四邊形,那么,我們就可以借助“對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)共圓”,然后借助圓的相關(guān)知識來解決問題,例如:
已知:是等邊三角形,點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),連接,將線段繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接,,,并延長交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在如圖所示的位置時:
(1)觀察填空:
①與全等的三角形是________;
②的度數(shù)為
(2)利用題干中的結(jié)論,證明:,,,四點(diǎn)共圓;
(3)直接寫出線段,,之間的數(shù)量關(guān)系.____________________.
【答案】(1)①:②;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可證△ACD≌△BCE;
②根據(jù)已推導(dǎo)出的全等三角形和三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化,可得∠AFB的大。
(2)根據(jù)△ACD≌△BCE得,推導(dǎo)得出四邊形CDFE中,從而證共圓;
(3)先推導(dǎo)出△BDF是等邊三角形,可證△ABD≌△CBP,得出AD=FC,從而得出數(shù)量關(guān)系.
(1)①∵△ABC是等邊三角形
∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∵將線段繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段
∴CE=CD,∠DCE=60°
∴△DCE是等邊三角形
∴∠DCE=60°
∵∠ACD+∠DCB=60°,∠BCE+∠DCB=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE(SAS)
②∵△ACD≌△BCE
∴∠EBC=∠DAC
∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°
∴∠FBC+∠BAD=60°
∴∠AFB=180°-∠ABC-∠FBC-∠BAF=180°-60°-60°=60°
(2)∵.
∴,
∵,
∴.
∴,,,四點(diǎn)共圓;
(證明不唯一)
(3)結(jié)論:,如下圖,連接BD
∵△ACD≌△BCE
∴∠CBE=∠CAD,AD=BE
∵∠CAD+∠BAD=60°,∠BAD+∠FBC=60°
∴∠BAD+∠ABD=∠BDF=60°
∵∠AFB=60°
∴△BDF是等邊三角形
∴DF=BF,∴FD+FE=BE
∴△ABD≌△CBF(SAS)
∴AD=FC
∴FD+FE=FC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班數(shù)學(xué)興趣小組對函數(shù)的圖象和性質(zhì)將進(jìn)行了探究,探究過程如下,請補(bǔ)充完整.
(1)自變量的取值范圍是除0外的全體實(shí)數(shù),與的幾組對應(yīng)值列表如下:
… | 1 | 2 | 3 | 6 | … | |||||
… | 1 | 2 | 6 | 1 | 3 | 2 | 1 | … |
其中,_________.
(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)并畫出了函數(shù)圖象的一部分,請畫出該函數(shù)圖象的另一部分.
(3)觀察函數(shù)圖象,寫出一條函數(shù)性質(zhì).
(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn):
①函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)情況是________,所以對應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根的情況是________.
②方程有_______個實(shí)效根;
③關(guān)于的方程有2個實(shí)數(shù)根,的取值范圍是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動點(diǎn),若點(diǎn)M在AB上,且滿足△PBC∽△PAM,延長BP交AD于點(diǎn)N,連結(jié)CM.分析下列結(jié)論:①AP⊥BN;②BM=DN;③點(diǎn)P一定在以CM為直徑的圓上;④正方形內(nèi)不存在點(diǎn)P使得PC=.其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,D為邊AB上一動點(diǎn)(不與A、B重合),⊙D與BC切于E點(diǎn),E點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)F在△ABC的一邊上,則BD=______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線G:與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn);一次函數(shù)()的圖像為直線.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)1≤x≤2時,≤≤,試說明:拋物線G的頂點(diǎn)不在直線上;
(3)設(shè),直線與線段AC交于D點(diǎn),與y軸交于E點(diǎn),與拋物線G的對稱軸交于F 點(diǎn),當(dāng)A、C兩點(diǎn)到直線距離相等時,是否存在整數(shù)n,使F點(diǎn)在直線BE的上方?若存在,求n的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,任意四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),對于四邊形EFGH的形狀,某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中,通過動手實(shí)踐,探索出如下結(jié)論,其中錯誤的是( )
A.當(dāng)E,F(xiàn),G,H是各邊中點(diǎn),且AC=BD時,四邊形EFGH為菱形
B.當(dāng)E,F(xiàn),G,H是各邊中點(diǎn),且AC⊥BD時,四邊形EFGH為矩形
C.當(dāng)E,F(xiàn),G,H不是各邊中點(diǎn)時,四邊形EFGH可以為平行四邊形
D.當(dāng)E,F(xiàn),G,H不是各邊中點(diǎn)時,四邊形EFGH不可能為菱形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一組數(shù)據(jù):3,4,4,4,5.若拿掉一個數(shù)據(jù)4,則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是( )
A.極差B.方差C.中位數(shù)D.眾數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長為2的正方形ABCD中,點(diǎn)E是AD邊上的中點(diǎn),BF平分∠EBC交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG⊥AB交BE于點(diǎn)H,則GH的長為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB:y=kx+b與x軸.y軸分別相交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,2),以線段AB為邊在第一象限作正方形ABCD.
(1)求直線AB的解析式;
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若雙曲線(k>0)與正方形的邊CD紿終有一個交點(diǎn),求k的取值范圍.
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