Question

【題目】如圖，直線AB：y=kx+b與x軸．y軸分別相交于點A（1，0）和點B（0，2），以線段AB為邊在第一象限作正方形ABCD．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求點D的坐標(biāo)；

（3）若雙曲線（k＞0）與正方形的邊CD紿終有一個交點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+2；（2）點D的坐標(biāo)為（3，1）；（3）3≤k≤6．

【解析】

（1）根據(jù)點A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式；

（2）作DF⊥x軸于F，易證△ADF≌△BAO（AAS），利用全等三角形的性質(zhì)可求出點D的坐標(biāo)；

（3）同（2）可求出點C的坐標(biāo)，利用極限值法可求出k的最大．最小值，此題得解．

解：（1）將A（1，0），B（0，2）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直線AB的解析式為y=-2x+2．

（2）作DF⊥x軸于F，則∠AFD=90°，

∵正方形ABCD，

∴BA=AD，∠BAD=90°，∠BAO+∠DAF=90°，

∵∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠DAF．

在△ADF和△BAO中，，

∴△ADF≌△BAO（AAS），

∴AF=BO=2，DF=AO=1，OF=OA+AF=3，

∴點D的坐標(biāo)為（3，1）．

（3）同（2）可得出點C的坐標(biāo)為（2，3）．

當(dāng)雙曲線過點D時，k=3×1=3；

當(dāng)雙曲線過點C時，k=2×3=6，

∴當(dāng)雙曲線（k＞0）與正方形的邊CD紿終有一個交點時，k的取值范圍為3≤k≤6．