Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知OA=6，OB=10．點D為y軸上一點，其坐標為（0，2），點P從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運動，當點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒．

（1）當點P經過點C時，求直線DP的函數解析式；

（2）①求△OPD的面積S關于t的函數解析式；

②如圖②，把長方形沿著OP折疊，點B的對應點B′恰好落在AC邊上，求點P的坐標．

（3）點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；（2）y=x+2；（2）①S=﹣2t+16，②點P的坐標是（，10）；（3）存在，滿足題意的P坐標為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．

【解析】分析：（1）設直線DP解析式為y=kx+b，將D與B坐標代入求出k與b的值，即可確定出解析式；
（2）①當P在AC段時，三角形ODP底OD與高為固定值，求出此時面積；當P在BC段時，底邊OD為固定值，表示出高，即可列出S與t的關系式；
②設P（m，10），則PB=PB′=m，根據勾股定理求出m的值，求出此時P坐標即可；
（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標性質求出P坐標即可．

詳解：（1）如圖1，

∵OA=6，OB=10，四邊形OACB為長方形，

∴C（6，10）．

設此時直線DP解析式為y=kx+b，

把（0，2），C（6，10）分別代入，得

，解得

則此時直線DP解析式為y=x+2；

（2）①當點P在線段AC上時，OD=2，高為6，S=6；

當點P在線段BC上時，OD=2，高為6+10﹣2t=16﹣2t，S=×2×（16﹣2t）=﹣2t+16；

②設P（m，10），則PB=PB′=m，如圖2，

∵OB′=OB=10，OA=6，

∴AB′==8，

∴B′C=10﹣8=2，

∵PC=6﹣m，

∴m2=22+（6﹣m）2，解得m=

則此時點P的坐標是（，10）；

（3）存在，理由為：

若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖3，

①當BD=BP1=OB﹣OD=10﹣2=8，

在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，

根據勾股定理得：CP1==2，

∴AP1=10﹣2，即P1（6，10﹣2）；

②當BP2=DP2時，此時P2（6，6）；

③當DB=DP3=8時，

在Rt△DEP3中，DE=6，

根據勾股定理得：P3E==2，

∴AP3=AE+EP3=2+2，即P3（6，2+2），

綜上，滿足題意的P坐標為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．