Question

【題目】如圖，BD是⊙O的直徑，弦BC與OA相交于點(diǎn)E，AF與⊙O相切于點(diǎn)A，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．

（1）求∠ADB的度數(shù)；

（2）求AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）

【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得：AF⊥OA，結(jié)合已知條件和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOA，根據(jù)圓周角定理即可求出∠ADB；

（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得：∠BAD=90°，從而求出∠DBC=∠DAC=30°，根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)可得：OA⊥BC，然后根據(jù)垂徑定理可得：BE＝CE＝BC＝4，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得：AB＝AC，利用等邊三角形的判定證出：△AOB是等邊三角形，可得：OB=AB＝AC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)可求出BE，從而求出AC.

解：（1）∵AF與⊙O相切于點(diǎn)A，

∴AF⊥OA，

∴∠OAF=90°

∵∠F=30°

∴∠BOA＝180°﹣∠OAF﹣∠F＝60°，

∴∠ADB＝∠AOB＝30°；

（2）∵BD是直徑

∴∠BAD=90°

∵∠BAC＝120°

∴∠DAC=∠BAC－∠BAD=30°

∴∠DBC=∠DAC=30°

∵∠F=30°

∴BC∥FA

∴OA⊥BC，

∴BE＝CE＝BC＝4，

∴AB＝AC，

∵∠AOB＝60°，OA＝OB，

∴△AOB是等邊三角形，

∴AB＝OB，

∵∠OBE＝30°，

∴OB＝＝，

∴AC＝AB＝OB＝．