【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè),點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC=3.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.
(2)如圖1,連接BC,點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn),連接OD,CD.OD交BC于點(diǎn)F,當(dāng)S△COF:S△CDF=3:2時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn),連接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在點(diǎn)P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4)或(2,3);(3)點(diǎn)P坐標(biāo)為:(,)或(,).
【解析】
(1)OB=OC=3,則:B(3,0),C(0,-3),把B、C坐標(biāo)代入拋物線方程,解得拋物線方程為:y=-x2+2x+3;
(2)S△COF:S△CDF=3:2,則S△COF=S△COD,即:xD=xF,即可求解;
(3)分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE兩種情況分別求解即可.
(1)OB=OC=3,則:B(3,0),C(0,﹣3),
把B、C坐標(biāo)代入拋物線方程,
解得拋物線方程為:y=﹣x2+2x+3;
(2)∵S△COF:S△CDF=3:2,
∴S△COF=S△COD,即:xD=xF,
設(shè):F點(diǎn)橫坐標(biāo)為3t,則D點(diǎn)橫坐標(biāo)為5t,
點(diǎn)F在直線BC上,
而BC所在的直線方程為:y=﹣x+3,則F(3t,3﹣3t),
則:直線OF所在的直線方程為:y=x=x,
則點(diǎn)D(5t,5﹣5t),
把D點(diǎn)坐標(biāo)代入①,解得:t=或,
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4)或(2,3);
(3)①如圖所示,當(dāng)∠PEB=2∠OBE=2α時(shí),
過(guò)點(diǎn)E作∠PEB的平分線交x軸于G點(diǎn),PE交x軸于H點(diǎn),
則:∠PEQ=∠QEB=∠ABE=α,則∠HGE=2α,
設(shè):GB=m,則:OG=3﹣m,GE=m,
在Rt△OGE中,由勾股定理得:EG2=OG2+OE2,
即:m2=(3﹣m)2+()2,解得:m=,
則:GE=,OG=,BE=,
∵∠PEQ=∠ABE=α,∠EHG=∠EHG,∴△HGE∽△HEB,
∴==,設(shè):GH=x,HE=4x,
在Rt△OHE中,OH=OG﹣HG=﹣x,OE=,EH=4x,
由勾股定理解得:x=,則:OH=,H(,0),
把E、H兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式,
解得EH所在直線的表達(dá)式為:y=x﹣,
將上式與①聯(lián)立并解得:x=,
則點(diǎn)P(,);
②當(dāng)∠PBE=2∠OBE時(shí),則∠PBO=∠EBO,
BE所在直線的k值為,則BE所在直線的k值為﹣,
則:PB所在的直線方程為:y=﹣x+3,
將上式與①聯(lián)立,解得:x=,(x=0已舍去),
則點(diǎn)P(,),
故:點(diǎn)P坐標(biāo)為:(,)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若|m+3|+=0,點(diǎn)P(m,n)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′為二次函數(shù)圖象頂點(diǎn),則二次函數(shù)的解析式為( 。
A. y=(x﹣3)2+2B. y=(x+3)2﹣2
C. y=(x﹣3)2﹣2D. y=(x+3)2+2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】清明節(jié)假期,小紅和小陽(yáng)隨爸媽去旅游,他們?cè)诰包c(diǎn)看到一棵古松樹(shù),小紅驚訝的說(shuō):“呀!這棵樹(shù)真高!有60多米.”小陽(yáng)卻不以為然:“60多米?我看沒(méi)有.”兩個(gè)人爭(zhēng)論不休,爸爸笑著說(shuō):“別爭(zhēng)了,正好我?guī)Я艘桓比前,用你們學(xué)過(guò)的知識(shí)量一量、算一算,看誰(shuí)說(shuō)的對(duì)吧!”
小紅和小陽(yáng)進(jìn)行了以下測(cè)量:如圖所示,小紅和小陽(yáng)分別在樹(shù)的東西兩側(cè)同一地平線上,他們用手平托三角板,保持三角板的一條直角邊與地平面平行,然后前后移動(dòng)各自位置,使目光沿著三角板的斜邊正好經(jīng)過(guò)樹(shù)的最高點(diǎn),這時(shí),測(cè)得小紅和小陽(yáng)之間的距離為135米,他們的眼睛到地面的距離都是1.6米.
(1)請(qǐng)?jiān)谥付▍^(qū)域內(nèi)畫出小紅和小陽(yáng)測(cè)量古松樹(shù)高的示意圖;
(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小紅和小陽(yáng)誰(shuí)的說(shuō)法正確(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列4個(gè)結(jié)論:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b2-4ac>0;其中正確的結(jié)論有________(填序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】曉琳和爸爸到太子河公園運(yùn)動(dòng),兩人同時(shí)從家出發(fā),沿相同路線前行,途中爸爸有事返回,曉琳繼續(xù)前行5分鐘后也原路返回,兩人恰好同時(shí)到家.曉琳和爸爸在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離家的路程y1(米),y2(米)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,下列結(jié)論:①兩人同行過(guò)程中的速度為200米/分;②m的值是15,n的值是3000;③曉琳開(kāi)始返回時(shí)與爸爸相距1800米;④運(yùn)動(dòng)18分鐘或30分鐘時(shí),兩人相距900米.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直線與反比例函數(shù)(>0)的圖象分別交于點(diǎn) A(,4)和點(diǎn)B(8,),與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D.
(1)求直線AB的解析式;
(2)觀察圖象,當(dāng)時(shí),直接寫出的解集;
(3)若點(diǎn)P是軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△COD與△ADP相似時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,DE⊥BC于點(diǎn)E.
(1)試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,若BE=3,DF=3,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次蠟燭燃燒試驗(yàn)中,甲、乙兩根蠟燭燃燒時(shí)剩余部分的高度y(厘米)與燃燒時(shí)間x(小時(shí))之間的關(guān)系如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)甲、乙兩根蠟燭燃燒前的高度分別是 ,從點(diǎn)燃到燃盡甲所用的時(shí)間為 .
(2)分別求甲、乙兩根蠟燭燃燒時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)燃燒多長(zhǎng)時(shí)間時(shí),甲、乙兩根蠟燭的高度相等(不考慮都燃盡時(shí)的情況)?在什么時(shí)間段內(nèi),甲蠟燭比乙蠟燭高?在什么時(shí)間段內(nèi),甲蠟燭比乙蠟低?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,CD⊥AB,且CD2=ADDB,AE平分∠CAB交CD于F,∠EAB=∠B,CN=BE.①CF=BN;②∠ACB=90°;③FN∥AB;④AD2=DFDC.則下列結(jié)論正確的是( 。
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③
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