Question

【題目】等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：CO＝BO；

（2）如圖2，點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC延長(zhǎng)線上，MN﹣AM＝CN，求∠MON的度數(shù)；

（3）如圖3，AD∥BC，OD∥AC，AD與OD交于點(diǎn)D，Q是OB的中點(diǎn)，連接CQ、DQ，試判斷線段CQ與DQ的關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）45°；（3）QC＝QD，QC⊥QD，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一證明；

（2）在線段BC上取點(diǎn)H，使CH＝AM，連接OH，分別證明△AOM≌△COH和△MON≌△HON，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；

（3）作DG⊥AO于G，證明△COQ≌△QGD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，垂直的定義證明．

（1）∵∠ACB＝90°，AO＝BO，

∴CO＝AB＝BO；

（2）在線段BC上取點(diǎn)H，使CH＝AM，連接OH，如圖所示

∵∠ACB＝90°，AO＝BO，

∴∠A＝∠B＝45°，∠ACO＝∠BCO＝45°，

在△AOM和△COH中，

，

∴△AOM≌△COH（SAS）

∴OM＝OH，

∵MN﹣AM＝CN，

∴NM＝NH，

在△MON和△HON中，

，

∴△MON≌△HON（SSS），

∴∠MON＝∠HON，

∴∠MON＝∠AOM+∠CON，

∴∠MON＝∠AOC＝45°；

（3）QC＝QD，QC⊥QD，

理由如下：作DG⊥AO于G，

∵AD∥BC，

∴∠OAD＝∠B＝45°，

∵OD∥AC，

∴∠AOD＝∠OAC＝45°，

∴DA＝DO，又DG⊥AO，

∴DG＝AG＝GO＝OA，

∵Q是OB的中點(diǎn)，

∴OQ＝BQ＝OB，

∴DG＝OQ，GQ＝OC，

在△COQ和△QGD中，

，

∴△COQ≌△QGD（SAS），

∴QC＝QD，∠GQD＝∠OCQ，

∵∠OCQ+∠CQO＝90°，

∴∠GQD+∠CQO＝90°，即∠CQD＝90°，

∴QC⊥QD，

則QC＝QD，QC⊥QD．