Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，﹣n），拋物線經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)C．已知實(shí)數(shù)m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在y軸右側(cè)），連接OD、BD．

①當(dāng)△OPC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②求△BOD 面積的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）①P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（，-）或P2（，﹣）或P3（，﹣），②D（，﹣）．

【解析】試題分析：（1）首先解方程得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）①首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當(dāng)OC=OP時(shí)，當(dāng)OP=PC時(shí)，點(diǎn)P在線段OC的中垂線上，當(dāng)OC=PC時(shí)分別求出x的值即可；
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù)，進(jìn)而得出最值即可．

試題解析：解（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，

得 x1=3，x2=﹣1．

∵m＜n，

∴m=﹣1，n=3

∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．

∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx（a≠0）．

∴，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=x2+x ．

（2）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．

∴；解得： ，

∴直線AB的解析式為y=x+．

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-）．

∵直線OB過(guò)點(diǎn)O（0，0），B（3，﹣3），

∴直線OB的解析式為y=﹣x．

∵△OPC為等腰三角形，

∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．

設(shè)P（x，﹣x），

（i）當(dāng)OC=OP時(shí)，x2+（-x）2=．

解得x1=，x2=-，（舍去）．

∴P1（，-）．

（ii）當(dāng)OP=PC時(shí)，點(diǎn)P在線段OC的中垂線上，

∴P2（，﹣）．

（iii）當(dāng)OC=PC時(shí)，由x2+（-x+）2=，

解得x1=，x2=0（舍去）．

∴P3（，﹣）．

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（，-）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．

②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過(guò)B作BH⊥x軸，垂足為H．

設(shè)Q（x，﹣x），D（x，-x2+x）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQOG+DQGH，

=DQ（OG+GH），

= [x+(+ )]×3，

=-（x-）2+，

∵0＜x＜3，

∴當(dāng)x=時(shí)，S取得最大值為，此時(shí)D（，﹣）．