Question

【題目】如圖，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+mx+n與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．

(1)求3m+n的值；

(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，求出有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

(3)將該拋物線在x軸上方的部分沿x軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸下方的部分組成一個(gè)“M“形狀的新圖象，若直線y＝x+b與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，求b的值．

Answer 1

【答案】(1)9；(2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；(3)b＝﹣3或﹣．

【解析】

(1)求出B、C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

(2)分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分別求解即可；

(3)分兩種情況，分別求解即可．

解：(1)直線y＝x﹣3，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝﹣3，

故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式得：，解得： ，

則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x﹣3，則點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，0)，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，

3m+n＝12﹣3＝9；

(2) ①當(dāng)CP＝CQ時(shí)，

C點(diǎn)縱坐標(biāo)為PQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同為﹣3，

故此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，﹣7)；

②當(dāng)CP＝PQ時(shí)，

∵PC=，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，1﹣)或(2，1+)；

③當(dāng)CQ＝PQ時(shí)，

過該中點(diǎn)與CP垂直的直線方程為：y＝﹣x﹣，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，﹣)；

故：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；

(3)圖象翻折后的點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(2，﹣1)，

①在如圖所示的位置時(shí)，直線y＝x+b與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，

此時(shí)C、P′、B三點(diǎn)共線，b＝﹣3；

②當(dāng)直線y＝x+b與翻折后的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

此時(shí)，直線y＝x+b與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)；

即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣．

即：b＝﹣3或﹣．