Question

已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，BC=6．
（1）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿直線DE方向向右運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)EP=________時(shí)，四邊形BCDP是矩形；
（2）將點(diǎn)B繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F處，連接AF、BF、EF．設(shè)∠BEF=α°，求證：△ABF是直角三角形；
②如圖3，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)G處，連接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形BCDF是矩形，
∴DP=BC=6，
∵點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，
∴DE=BC=3，
∴EP=6-3=3，
故答案為：3；

（2）①∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BE=EF，
∴BE=EF=AE，
在△BEF中，∠BEF=α°，可得∠EBF=∠BFE=（180°-α°）=90°-α°，
在△AEF中，可得∠EAF=∠AFE=∠FEB=α°，
∴∠BFE+∠AFE=90°-α°+α°=90°，
∴△ABF是直角三角形；

②過點(diǎn)E作EK⊥BC，垂足為點(diǎn)K，過點(diǎn)G作GM⊥DE交DE延長(zhǎng)線于M，
∵點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠EDC=90°，
∵∠C=90°，EK⊥BC，GM⊥DE，
∴∠M=∠EKB═90°，EK∥DC，
∴∠MEK=∠EDC=90°，
∴∠MEB+∠BEK=90°，
∵EG⊥AB，
∴∠GEB=90°，
∴∠GEM+∠MEB=90°，
∴∠GEM=∠BEK，
∵將點(diǎn)B繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到G，
∴EG=BE，
在△GME和△BKE中
∵，
∴△GME≌△BKE（AAS），
∴GM=BK，
∵∠C=∠EKC=∠EDC=90°，
∴四邊形DCKE是矩形，
∴DE=CK=3，
∴GM=BK=6-3=3，
∴△DEG的面積為DE×GM=×3×3=．
分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出DP=BC，根據(jù)三角形中位線求出DE=3，即可得出答案；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AE=EF=BE，得出∠FAE=∠EFA=α°，∠EFB=∠EBF=90°-α°，求出∠AFB的度數(shù)，即可得出答案；
②過點(diǎn)E作EK⊥BC，垂足為點(diǎn)K，過點(diǎn)G作GM⊥DE交DE延長(zhǎng)線于M，求出BE=EG，∠GME=∠EKB=90°，∠GEM=∠BEK，根據(jù)AAS證△GME≌△BKE，推出GM=BK，求出BK，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．