Question

如圖，在矩形ABCD中，AB =6，AD =11．直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A,D不重合），一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E．
（1）△CDP與△PAE相似嗎？如果相似，請寫出證明過程；
（2）當(dāng)∠PCD =30°時(shí)，求AE的長；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CDP的周長等于△PAE周長的2倍？若存在，求DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

1）△CDP∽△PAE.                 ………………………………（1分）
證明：∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴ ∠D=∠A=90°，CD=AB=6.     ……………………（2分）
∴ ∠PCD+∠DPC=90°            
又∵ ∠CPE=90°,
∴ ∠EPA+∠DPC=90°,           ……………………（3分）
∴ ∠PCD=∠EPA.              
∴ △CDP∽△PAE.              ………………………（4分）
（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD =.     ……………………（5分）
∴ PD=CD•tan∠PCD=6•tan30°=6×=2. …………（6分）
∴ AP=AD-PD=11-2.      ………………………………（7分）
解法1：由△CDP∽△PAE知，
∴ AE=    …………（8分）
解法2：由△CDP∽△PAE知∠EPA=∠PCD =30°，
∴ AE=AP•tan∠EAP=(11-2)•tan30°=. ……（8分）
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=11-x
由△CDP∽△PAE知，                 ……………（9分）
∴ ，解得x=8，此時(shí)AP=3，AE=4．  ……………（10分）

 略