Question

【題目】已知拋物線l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為N，我們稱以N為頂點(diǎn)，對稱軸是y軸且過點(diǎn)M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線．

（1）如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是　 　，衍生直線的解析式是　 　；

（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求這條拋物線的解析式；

（3）如圖，設(shè)（1）中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為M，與y軸交點(diǎn)為N，將它的衍生直線MN先繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個(gè)單位得直線n，P是直線n上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；

（3）存在，P為（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．

【解析】分析：（1）衍生拋物線頂點(diǎn)為原拋物線與y軸的交點(diǎn)，則可根據(jù)頂點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式方程，由衍生拋物線過原拋物線的頂點(diǎn)則解析式易得，MN解析式易得．

（2）已知衍生拋物線和衍生直線求原拋物線思路正好與（1）相反，根據(jù)衍生拋物線與衍生直線的兩交點(diǎn)分別為衍生拋物線與原拋物線的交點(diǎn)，則可推得原拋物線頂點(diǎn)式，再代入經(jīng)過點(diǎn)，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直線MN繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行得到y=﹣3，再向上平移1個(gè)單位即得直線y=﹣2，所以P點(diǎn)可設(shè)（x，﹣2）．在坐標(biāo)系中使得△POM為直角三角形一般考慮勾股定理，對于坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)作平行于x軸、y軸的直線，則可構(gòu)成以兩點(diǎn)間距離為斜邊的直角三角形，且直角邊長都為兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)差的絕對值．進(jìn)而我們可以先算出三點(diǎn)所成三條線的平方，然后組合構(gòu)成滿足勾股定理的三種情況，易得P點(diǎn)坐標(biāo)．

本題解析：

（1）∵拋物線y=x2﹣2x﹣3過（0，﹣3），

∴設(shè)其衍生拋物線為y=ax2﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，

∴衍生拋物線為y=ax2﹣3過拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)（1，﹣4），

∴﹣4=a1﹣3，

解得 a=﹣1，

∴衍生拋物線為y=﹣x2﹣3．

設(shè)衍生直線為y=kx+b，

∵y=kx+b過（0，﹣3），（1，﹣4），

∴，

∴，

∴衍生直線為y=﹣x﹣3．

（2）∵衍生拋物線和衍生直線兩交點(diǎn)分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點(diǎn)，

∴將y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1聯(lián)立，得，

解得 或，

∵衍生拋物線y=﹣2x2+1的頂點(diǎn)為（0，1），

∴原拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣1）．

設(shè)原拋物線為y=a（x﹣1）2﹣1，

∵y=a（x﹣1）2﹣1過（0，1），

∴1=a（0﹣1）2﹣1，

解得 a=2，

∴原拋物線為y=2x2﹣4x+1．

（3）∵N（0，﹣3），

∴MN繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行后，解析式為y=﹣3，

∴再沿y軸向上平移1個(gè)單位得的直線n解析式為y=﹣2．

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，﹣2），

∵O（0，0），M（1，﹣4），

∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，

OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，

MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．

①當(dāng)OM2=OP2+MP2時(shí)，有17=x2+4+x2﹣2x+5，

解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．

②當(dāng)OP2=OM2+MP2時(shí)，有x2+4=17+x2﹣2x+5，

解得 x=9，即P（9，﹣2）．

③當(dāng)MP2=OP2+OM2時(shí)，有x2﹣2x+5=x2+4+17，

解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．

綜上所述，當(dāng)P為（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）時(shí)，△POM為直角三角形．