【題目】如圖,在⊙O中,直徑CD垂直于不過(guò)圓心O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,連接AC,點(diǎn)E在AB上,且AE=CE.
(1)求證:AC2=AEAB;
(2)過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,試判斷PB與PE是否相等,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)⊙O半徑為4,點(diǎn)N為OC中點(diǎn),點(diǎn)Q在⊙O上,求線段PQ的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)PB=PE;(3).
【解析】
試題分析:(1)證明△AEC∽△ACB,列比例式可得結(jié)論;
(2)如圖2,證明∠PEB=∠COB=∠PBN,根據(jù)等角對(duì)等邊可得:PB=PE;
(3)如圖3,先確定線段PQ的最小值時(shí)Q的位置:因?yàn)镺Q為半徑,是定值4,則PQ+OQ的值最小時(shí),PQ最小,當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí),PQ最小,先求AE的長(zhǎng),從而得PB的長(zhǎng),最后利用勾股定理求OP的長(zhǎng),與半徑的差就是PQ的最小值.
試題解析:(1)如圖1,連接BC,∵CD為⊙O的直徑,AB⊥CD,∴,∴∠A=∠ABC,∵EC=AE,∴∠A=∠ACE,∴∠ABC=∠ACE,∵∠A=∠A,∴△AEC∽△ACB,∴,∴AC2=AEAB;
(2)PB=PE,理由是:
如圖2,連接OB,∵PB為⊙O的切線,∴OB⊥PB,∴∠OBP=90°,∴∠PBN+∠OBN=90°,∵∠OBN+∠COB=90°,∴∠PBN=∠COB,∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A,∠COB=2∠A,∴∠PEB=∠COB,∴∠PEB=∠PBN,∴PB=PE;
(3)如圖3,∵N為OC的中點(diǎn),∴ON=OC=OB,Rt△OBN中,∠OBN=30°,∴∠COB=60°,∵OC=OB,∴△OCB為等邊三角形,∵Q為⊙O任意一點(diǎn),連接PQ、OQ,因?yàn)镺Q為半徑,是定值4,則PQ+OQ的值最小時(shí),PQ最小,當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí),PQ最小,∴Q為OP與⊙O的交點(diǎn)時(shí),PQ最小,∠A=∠COB=30°,∴∠PEB=2∠A=60°,∠ABP=90°﹣30°=60°,∴△PBE是等邊三角形,Rt△OBN中,BN==,∴AB=2BN=,設(shè)AE=x,則CE=x,EN=﹣x,Rt△CNE中,,x=,∴BE=PB==,Rt△OPB中,OP= = =,∴PQ=﹣4=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】十八大報(bào)告指出:“建設(shè)生態(tài)文明,是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來(lái)的長(zhǎng)遠(yuǎn)大計(jì)”,這些年黨和政府在生態(tài)文明的發(fā)展進(jìn)程上持續(xù)推進(jìn),在“十一五”期間,中國(guó)減少二氧化碳排放1 460 000 000噸,贏得國(guó)際社會(huì)廣泛贊譽(yù).將1 460 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.146×107
B.1.46×107
C.1.46×109
D.1.46×1010
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,直線 與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B.
(1)直接寫(xiě)出A點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)x 時(shí),y≤4;
(3)過(guò)B點(diǎn)作直線BP與x軸相交于P,若OP=2OA時(shí),求ΔABP的面積。
(4)在y軸上是否存在E點(diǎn),使得ΔABE為等腰三角形,若存在,直接寫(xiě)出滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a是兩位數(shù),b是一位數(shù),把a(bǔ)直接寫(xiě)在b的前面,就成為一個(gè)三位數(shù).這個(gè)三位數(shù)可表示成 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)兩點(diǎn)是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)觀察圖象,直接寫(xiě)出不等式kx+b﹣>0的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明隨機(jī)調(diào)查了若干市民租用共享單車(chē)的騎車(chē)時(shí)間t(單位:分),將獲得的數(shù)據(jù)分成四組,繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖(A:0<t≤10,B:10<t≤20,C:20<t≤30,D:t>30),根據(jù)圖中信息,解答下列問(wèn)題:
(1)這項(xiàng)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是多少人?
(2)試求表示A組的扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角的度數(shù),補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)如果小明想從D組的甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選擇兩人了解平時(shí)租用共享單車(chē)情況,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出恰好選中甲的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】不解方程,判斷方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是( )
A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校在一次大課間活動(dòng)中,采用了四鐘活動(dòng)形式:A、跑步,B、跳繩,C、做操,D、游戲.全校學(xué)生都選擇了一種形式參與活動(dòng),小杰對(duì)同學(xué)們選用的活動(dòng)形式進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果,繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖,回答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查學(xué)生共 人,a= ,并將條形圖補(bǔ)充完整;
(2)如果該校有學(xué)生2000人,請(qǐng)你估計(jì)該校選擇“跑步”這種活動(dòng)的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校讓每班在A、B、C、D四鐘活動(dòng)形式中,隨機(jī)抽取兩種開(kāi)展活動(dòng),請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法,求每班抽取的兩種形式恰好是“跑步”和“跳繩”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某周日上午8:00小宇從家出發(fā),乘車(chē)1小時(shí)到達(dá)某活動(dòng)中心參加實(shí)踐活動(dòng).11:00時(shí)他在活動(dòng)中心接到爸爸的電話,因急事要求他在12:00前回到家,他即刻按照來(lái)活動(dòng)中心時(shí)的路線,以5千米/小時(shí)的平均速度快步返回.同時(shí),爸爸從家沿同一路線開(kāi)車(chē)接他,在距家20千米處接上了小宇,立即保持原來(lái)的車(chē)速原路返回.設(shè)小宇離家x(小時(shí))后,到達(dá)離家y(千米)的地方,圖中折線OABCD表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.
(1)活動(dòng)中心與小宇家相距 千米,小宇在活動(dòng)中心活動(dòng)時(shí)間為 小時(shí),他從活動(dòng)中心返家時(shí),步行用了 小時(shí);
(2)求線段BC所表示的y(千米)與x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫(xiě)出x所表示的范圍);
(3)根據(jù)上述情況(不考慮其他因素),請(qǐng)判斷小宇是否能在12:00前回到家,并說(shuō)明理由.
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