【題目】如圖,△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE, ∠BAC=∠DAE,BC交

DE于點(diǎn)O,∠BAD=a.

(1)求證:∠BOD=a.

(2)若AO平分∠DAC, 求證:AC=AD.

(3)若∠C=30°,OE交AC于F,且△AOF為等腰三角形,則a= .

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)40°或20°

【解析】試題分析:(1)根據(jù)全等三角形的判定“SAS”證得△ABC≌△ADE,然后根據(jù)全等的性質(zhì),可得∠B=∠D,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得證結(jié)論;

(2)過(guò)A作AM⊥BC于M,作AN⊥DE于N,由(1)知△ABC≌△ADE,根據(jù)全等三角形的面積相等,證得AM=AN,從而AO為∠DAC的平分線,根據(jù)ASA證得△ABO≌△AEO,可得AB=AE,然后得證;

(3)由題意可分為OA=OF和OA=AF兩種情況討論,即可求解.

試題解析:(1)在△ABC和△ADE中,

∴△ABC≌△ADE(SAS)∴∠B=∠D,∴∠BOD=∠BAD=α,

(2)過(guò)A作AM⊥BC于M,作AN⊥DE于N,

∵△ABC≌△ADE,SABC=SADE,BC=DE,AM=AN,

∴AO平分∠BOE,∵AO平分∠DAC,∴∠DAO=∠CAO,∴∠BAO=∠EAO,

在△ABO和△AEO中,

∴△ABO≌△AEO(ASA),

∴AB=AE,∵AB=AD,AC=AE,∴AC=AD,

(3)當(dāng)AO=AF時(shí),a=40°,

當(dāng)OA=OF時(shí),a=20°,

故答案為:40°或20°.

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