Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE, ∠BAC＝∠DAE,BC交

DE于點(diǎn)O，∠BAD=ａ.

(1)求證：∠BOD=ａ.

(2)若AO平分∠DAC, 求證：AC=AD.

(3)若∠C=30°，OE交AC于F,且△AOF為等腰三角形，則ａ= .

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）40°或20°

【解析】試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定“SAS”證得△ABC≌△ADE，然后根據(jù)全等的性質(zhì)，可得∠B=∠D，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得證結(jié)論；

（2）過(guò)A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N，由（1）知△ABC≌△ADE，根據(jù)全等三角形的面積相等，證得AM=AN，從而AO為∠DAC的平分線，根據(jù)ASA證得△ABO≌△AEO，可得AB=AE，然后得證；

（3）由題意可分為OA=OF和OA=AF兩種情況討論，即可求解.

試題解析：（1）在△ABC和△ADE中，

∵

∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D，∴∠BOD=∠BAD=α，

（2）過(guò)A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N，

∵△ABC≌△ADE，∴S△ABC=S△ADE，∴，∵BC=DE，∴AM=AN，

∴AO平分∠BOE，∵AO平分∠DAC，∴∠DAO=∠CAO，∴∠BAO=∠EAO，

在△ABO和△AEO中，

∵

∴△ABO≌△AEO（ASA），

∴AB=AE，∵AB=AD，AC=AE，∴AC=AD，

（3）當(dāng)AO=AF時(shí)，a=40°，

當(dāng)OA=OF時(shí)，a=20°，

故答案為：40°或20°.