【題目】如圖,在頂點(diǎn)為P的拋物線 的對稱軸l上取 ,過A作 交拋物線于B,C兩點(diǎn)(B在C左側(cè)),點(diǎn)和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P對稱,過作 ,又分別過B,C作 ,垂足為E,D,在這里我們把點(diǎn)A叫拋物線的焦點(diǎn),BC叫拋物線的直徑,矩形BCDE叫拋物線的焦點(diǎn)矩形.
(1)直接寫出拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑;
(2)求拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑;
(3)已知拋物線的直徑為 ,求a的值;
(4)①已知拋物線 的焦點(diǎn)矩形的面積為2,求a的值;
②直接寫出拋物線的焦點(diǎn)矩形與拋物線 有兩個公共點(diǎn)時m的取值范圍.
【答案】(1) (0,1),4;(2) (3,3),4;(3) ;(4)① ;② 或
【解析】
(1)根據(jù)題意可以求得拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑;
(2)根據(jù)題意可以求得拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑;
(3)根據(jù)題意和拋物線的直徑為 ,列方程即求a的值;
(4)①根據(jù)題意和拋物線的焦點(diǎn)矩形的面積為2,列方程即求的值;
②根據(jù)(2)中的結(jié)果和圖形可以求得拋物線的焦點(diǎn)矩形與拋物線 有兩個公共點(diǎn)時m的取值范圍.
(1)∵拋物線中,,,,
∴此拋物線焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,,縱坐標(biāo)是:,
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),
將代入得:,
∴此拋物線的直徑是:;
(2)∵拋物線中,,,,
∴此拋物線焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,,縱坐標(biāo)是:,
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),
將代入得:,
∴此拋物線的直徑是:;
(3)∵拋物線的焦點(diǎn)為A(,),
∴,
解得:,
∴此拋物線的直徑是:;
解得:,
∴的值是;
(4)設(shè)拋物線解析式為:,
①由(3)得,BC,
焦點(diǎn)為A(,),頂點(diǎn)為P(,),
∴,
根據(jù)題意:,
解得:,
∴的值是;
②當(dāng) 或時,有兩個公共點(diǎn),
理由:由(2)知拋物線的焦點(diǎn)矩形頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:
B(1,3),C(5,3),E(1,1),D(5,1),
當(dāng)過B(1,3)時,
解得:或(舍去),
過C(5,3)時,或(舍去),
由圖可知,公共點(diǎn)個數(shù)隨m的變化關(guān)系為:
當(dāng)時,無公共點(diǎn);
當(dāng)時,1個公共點(diǎn);
當(dāng)時,2個公共點(diǎn);
當(dāng)時,3個公共點(diǎn);
當(dāng)時,有2個公共點(diǎn);
當(dāng)時,1個公共點(diǎn);
當(dāng)時,無公共點(diǎn);
由上可得,當(dāng)或時,有2個公共點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系 中,已知點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,將繞點(diǎn)按順時針分別旋轉(zhuǎn),得到,,拋物線經(jīng)過點(diǎn),,;拋物線經(jīng)過點(diǎn),,.
(1)求拋物線的解析式.
(2)如果點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個動點(diǎn).
①若 ,求點(diǎn)的坐標(biāo);
②如圖,過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn),記,求與的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)時,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E為BC的中點(diǎn),AE與BD相交于點(diǎn)F.若BC=4,∠CBD=30°,則BF的長為( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑, BC交⊙O于點(diǎn)D,E是的中點(diǎn),連接AE交BC于點(diǎn)F,∠ACB =2∠EAB.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若,,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,D 是邊 AB 上一點(diǎn),以 BD為直徑的⊙O 經(jīng)過點(diǎn) E,且交 BC 于點(diǎn) F.
(1)求證:AC 是⊙O 的切線;
(2)若 BC=8,⊙O 的半徑為 5,求 CE 的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°.
(1)求證:AC∥DE;
(2)過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F,連接EF,試判別四邊形BCEF的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】疫情期間,某銷售商在網(wǎng)上銷售A、B兩種型號的電腦“手寫板”,其進(jìn)價、售價和每日銷量如下表所示:
進(jìn)價(元/個) | 售價(元/個) | 銷量(個/日) | |
A型 | 400 | 600 | 200 |
B型 | 800 | 1200 | 400 |
根據(jù)市場行情,該銷售商對A型手寫板降價銷售,同時對B型手寫板提高售價,此時發(fā)現(xiàn)A型手寫板每降低5元就可多賣1個,B型手寫板每提高5元就少賣1個.銷售時保持每天銷售總量不變,設(shè)其中A型手寫板每天多銷售x個,每天獲得的總利潤為y元.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出x的取值范圍;
(2)要使每天的利潤不低于212000元,求出x的取值范圍;
(3)該銷售商決定每銷售一個B型手寫板,就捐助a元給受“新冠疫情”影響的困難學(xué)生,若當(dāng)30≤x≤40時,每天的最大利潤為203400元,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)活動課上,老師和學(xué)生一起去測量學(xué)校升旗臺上旗桿AB的高度.如圖,老師測得升旗臺前斜坡AC的坡度為1:10(即AE:CE=1:10),學(xué)生小明站在離升旗臺水平距離為35m(即CE=35m)處的C點(diǎn),測得旗桿頂端B的仰角α=30°,已知小明身高CD=1.6m,求旗桿AB的高度.(參考數(shù)據(jù):tan30°≈0.58,結(jié)果保留整數(shù))
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