【題目】在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,D 是邊 AB 上一點(diǎn),以 BD為直徑的⊙O 經(jīng)過點(diǎn) E,且交 BC 于點(diǎn) F.
(1)求證:AC 是⊙O 的切線;
(2)若 BC=8,⊙O 的半徑為 5,求 CE 的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)4
【解析】
(1)連接OE,證明∠OEA=90°即可;
(2)連接OF,過點(diǎn)O作OH⊥BF交BF于H,由題意可知四邊形OECH為矩形,利用垂徑定理和勾股定理計(jì)算出OH的長(zhǎng),進(jìn)而求出CE的長(zhǎng).
(1)證明:連接OE.
∵OE=OB,
∴∠OBE=∠OEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠OBE=∠EBC,
∴∠EBC=∠OEB,
∴OE∥BC,
∴∠OEA=∠ACB,
∵∠ACB=90°,
∴∠OEA=90°,
∴AC是⊙O的切線;
(2)解:連接OE、OF,過點(diǎn)O作OH⊥BF交BF于H,
由題意可知四邊形OECH為矩形,
∴OH=CE,OE=CH=5,
∵BC=8,
∴BH=BC-HC= BC-OE =8-5 =3,
在Rt△BHO中,OB=5,
∴OH=,
∴CE=OH=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,(點(diǎn),分別與點(diǎn),對(duì)應(yīng)),,.固定不動(dòng),運(yùn)動(dòng),并滿足點(diǎn)在邊從向移動(dòng)(點(diǎn)不與,重合),始終經(jīng)過點(diǎn),與邊交于點(diǎn),當(dāng)是等腰三角形時(shí),______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為,且,.給出如下定義:若平面上存在一點(diǎn)P,使是以線段為斜邊的直角三角形,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”.
(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為,在點(diǎn)、和中,是點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”的是_________;
②點(diǎn)B在x軸的正半軸上,且,當(dāng)直線上存在點(diǎn)A、點(diǎn)B的“直角點(diǎn)”時(shí),求b的取值范圍;
(2)的半徑為r,點(diǎn)為點(diǎn)、點(diǎn)的“直角點(diǎn)”,若使得與有交點(diǎn),直接寫出半徑r的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,P為AB上的一動(dòng)點(diǎn),E為AD中點(diǎn),PE交CD延長(zhǎng)線于Q,過E作EF⊥PQ交BC的延長(zhǎng)線于F,則下列結(jié)論:①△APE≌△DQE;②PQ=EF;③當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí),CF=;④若H為QC的中點(diǎn),當(dāng)P從A移動(dòng)到B時(shí),線段EH掃過的面積為1,其中正確的有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D為BC邊上一點(diǎn),(不與點(diǎn)B、C)重合,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,連接EC,則∠ACE的度數(shù)是__________,線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是_______________.
(2)2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,請(qǐng)寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD,BD,CD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,若點(diǎn)A滿足AB=AC,∠BAC=90°,請(qǐng)直接寫出線段AD的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在頂點(diǎn)為P的拋物線 的對(duì)稱軸l上取 ,過A作 交拋物線于B,C兩點(diǎn)(B在C左側(cè)),點(diǎn)和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱,過作 ,又分別過B,C作 ,垂足為E,D,在這里我們把點(diǎn)A叫拋物線的焦點(diǎn),BC叫拋物線的直徑,矩形BCDE叫拋物線的焦點(diǎn)矩形.
(1)直接寫出拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑;
(2)求拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)及其直徑;
(3)已知拋物線的直徑為 ,求a的值;
(4)①已知拋物線 的焦點(diǎn)矩形的面積為2,求a的值;
②直接寫出拋物線的焦點(diǎn)矩形與拋物線 有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知菱形中,,點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),點(diǎn)在邊上,且,將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得線段,連接.
(1)依題意補(bǔ)全圖形;
(2)求證:為等邊三角形
(3)用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=2,E是邊CD上一點(diǎn),將△ADE沿直線AE折疊得到△AFE,BF的延長(zhǎng)線交邊CD于點(diǎn)G,則DG的最大值為_____.
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