Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝7，點E是AD邊上的一點，連接BE，將BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°至B′E，連接B′D，當(dāng)△B′ED是直角三角形時，線段AE的長為_____．

Answer 1

【答案】4或.

【解析】

根據(jù)題意分兩種情況討論，若∠EB'D＝90°，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得BE2＝3DE，再根據(jù)勾股定理得到BE2＝AB2+AE2，進而求得AE的值；若∠EDB'＝90°，通過“角角邊”證明△AEB≌△B'DE，進而得到AE的值.

∵將BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°至B′E，

∴BE＝B'E，∠BEB'＝90°，

①若∠EB'D＝90°，

∴∠B'ED+∠B'DE＝90°，且∠AEB+∠B'ED＝90°，

∴∠AEB＝∠B'ED，且∠A＝∠EB'D＝90°，

∴△AEB∽△B'DE，

∴，

∴BE2＝3DE，

∵BE2＝AB2+AE2，

∴3（7﹣AE）＝9+AE2，

∴AE＝；

②若∠EDB'＝90°，

∵∠A＝∠EDB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠B'ED，

∴△AEB≌△B'DE（AAS），

∴AB＝DE＝3，

∴AE＝4.

故答案為：4或.