【題目】閱讀下列材料,并用相關(guān)的思想方法解決問題.材料:為解方程x4﹣x2﹣6=0可將方程變形為(x2)2﹣x2﹣6=0然后設(shè)x2=y,則(x2)2=y2,原方程化為y2﹣y﹣6=0…①
解得y1=﹣2,y2=3,當(dāng)y1=﹣2時(shí),x2=﹣2無意義,舍去;
當(dāng)y2=3時(shí),x2=﹣3,解得x=±;
所以原方程的解為x1=,x2=﹣;
問題:(1)在原方程得到方程①的過程中,利用 法達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了 的數(shù)學(xué)思想;
(2)利用以上學(xué)習(xí)到的方法解下列方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.
【答案】(1)換元,化歸;(2)x1=0,x2=﹣5
【解析】
(1)利用換元法達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想,據(jù)此可得答案;
(2)令y=x2+5x,得到關(guān)于y的一元二次方程,解之求出y的值,從而得到兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,分別求解可得.
解:(1)在原方程得到方程①的過程中,利用換元法達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想;
故答案為:換元,化歸.
(2)令y=x2+5x,
則原方程化為(y+1)(y+7)=7,
整理,得:y2+8y=0,
解得y1=0,y2=﹣8,
當(dāng)y=0時(shí),x2+5x=0,
解得:x1=0,x2=﹣5;
當(dāng)y=﹣8時(shí),x2+5x=﹣8,即x2+5x+8=0,
∵△=52﹣4×1×8=﹣7<0,
∴此方程無解.
綜上,方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7的解為x1=0,x2=﹣5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=7,點(diǎn)E是AD邊上的一點(diǎn),連接BE,將BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至B′E,連接B′D,當(dāng)△B′ED是直角三角形時(shí),線段AE的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室,要求長與寬的比為2:1.在溫室內(nèi),沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地,其它三側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道.當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時(shí),蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)(為常數(shù),且)的圖象交于A(1,a)、B兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①b<2a;②a+2c﹣b>0;③b>a>c;④b2+2ac<3ab.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OF是∠MON的平分線,點(diǎn)A在射線OM上,P,Q是直線ON上的兩動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè),且PQ=OA,作線段OQ的垂直平分線,分別交直線OF、ON交于點(diǎn)B、點(diǎn)C,連接AB、PB.
(1)如圖1,當(dāng)P、Q兩點(diǎn)都在射線ON上時(shí),請(qǐng)直接寫出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)P、Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長線上時(shí),線段AB,PB是否還存在(1)中的數(shù)量關(guān)系?若存在,請(qǐng)寫出證明過程;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖3,∠MON=60°,連接AP,設(shè)=k,當(dāng)P和Q兩點(diǎn)都在射線ON上移動(dòng)時(shí),k是否存在最小值?若存在,請(qǐng)直接寫出k的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)AB=PB;(2)存在;(3)k=0.5.
【解析】試題分析:(1)結(jié)論:AB=PB.連接BQ,只要證明△AOB≌△PQB即可解決問題;
(2)存在.證明方法類似(1);
(3)連接BQ.只要證明△ABP∽△OBQ,即可推出=,由∠AOB=30°,推出當(dāng)BA⊥OM時(shí), 的值最小,最小值為0.5,由此即可解決問題;
試題解析:解:(1)連接:AB=PB.理由:如圖1中,連接BQ.
∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO,∵OF平分∠MON,∴∠AOB=∠BQO,∵OA=PQ,∴△AOB≌△PQB,∴AB=PB.
(2)存在,理由:如圖2中,連接BQ.
∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO,∵OF平分∠MON,∠BOQ=∠FON,∴∠AOF=∠FON=∠BQC,∴∠BQP=∠AOB,∵OA=PQ,∴△AOB≌△PQB,∴AB=PB.
(3)連接BQ.
易證△ABO≌△PBQ,∴∠OAB=∠BPQ,AB=PB,∵∠OPB+∠BPQ=180°,∴∠OAB+∠OPB=180°,∠AOP+∠ABP=180°,∵∠MON=60°,∴∠ABP=120°,∵BA=BP,∴∠BAP=∠BPA=30°,∵BO=BQ,∴∠BOQ=∠BQO=30°,∴△ABP∽△OBQ,∴ =,∵∠AOB=30°,∴當(dāng)BA⊥OM時(shí), 的值最小,最小值為0.5,∴k=0.5.
點(diǎn)睛:本題考查相似綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題,學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,屬于中考常考題型.
【題型】解答題
【結(jié)束】
28
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直線l:y=﹣x﹣4與x軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線y=ax2+x+c上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸,垂足為E,交直線l于點(diǎn)F.
(1)試求該拋物線表達(dá)式;
(2)如圖(1),若點(diǎn)P在第三象限,四邊形PCOF是平行四邊形,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖(2),過點(diǎn)P作PH⊥y軸,垂足為H,連接AC.
①求證:△ACD是直角三角形;
②試問當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為何值時(shí),使得以點(diǎn)P、C、H為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知關(guān)于x的函數(shù)y=k(x﹣1)和y=(k≠0),它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店分兩次購進(jìn)、兩種商品進(jìn)行銷售,兩次購進(jìn)同一種商品的進(jìn)價(jià)相同,具體情況如下表所示:
購進(jìn)數(shù)量(件) | 購進(jìn)所需費(fèi)用 (元) | ||
A | B | ||
第一次 | 20 | 50 | 4100 |
第二次 | 30 | 40 | 3700 |
(1)求、兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)商場決定商品以每件50元出售,商品以每件元出售.為滿足市場需求,需購進(jìn)、兩種商品共件,且商品的數(shù)量不少于商品數(shù)量的倍,請(qǐng)你求出獲利最大的進(jìn)貨方案,并確定最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-1)、(2,1).
(1)以O點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍(即新圖與原圖的相似比為2),畫出圖形;
(2)B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是 ;C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)是 ;
(3)在BC上有一點(diǎn)P(x,y),按(1)的方式得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是 .
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