Question

如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E，D′E交AC于F點(diǎn)．若AB=6cm．

（1）AE的長為　 　cm；

（2）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得DP+EP的值最小，并求出這個(gè)最小值；

（3）求點(diǎn)D′到BC的距離．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=45°，∠B=90°，

∴AB=BC=6cm，

∴AC=12cm，

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，

∴CD=AC÷cos30°=12÷=12×=8（cm），

∵點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，

∴AE=DC=4cm．

故答案為：4；

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，

∴∠ADC=60°，

∵E為CD邊上的中點(diǎn)，

∴DE=AE，

∴△ADE為等邊三角形，

∵將△ADE沿AE所在直線翻折得△AD′E，

∴△AD′E為等邊三角形，

∠AED′=60°，

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，

∴∠EFA=90°，

即AC所在的直線垂直平分線段ED′，

∴點(diǎn)E，D′關(guān)于直線AC對稱，

連接DD′交AC于點(diǎn)P，

∴此時(shí)DP+EP值為最小，且DP+EP=DD′，

∵△ADE是等邊三角形，AD=AE=4，

∴DD′=2×AD×=2×6=12，

即DP+EP最小值為12cm；

（3）連接CD′，BD′，過點(diǎn)D′作D′G⊥BC于點(diǎn)G，

∵AC垂直平分線ED′，

∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=4，

在△ABD′和△CBD′中，

，

∴△ABD′≌△CBD′（SSS），

∴∠D′BG=45°，

∴D′G=GB，

設(shè)D′G長為xcm，則CG長為（6﹣x）cm，

在Rt△GD′C中

x²+（6﹣x）²=（4）²，

解得：x₁=3﹣，x₂=3+（不合題意舍去），

∴點(diǎn)D′到BC邊的距離為（3﹣）cm．