【題目】如圖,在正方形ABCD中,點M是邊BC上的一點(不與BC重合),點NCD邊的延長線上,且滿足∠MAN90°,聯(lián)結MN、AC,MN與邊AD交于點E

1)求證:AMAN

2)如果∠CAD2NAD,求證:AM2ACAE;

3MNAC相交于O點,若BM1,AB3,試猜想線段OMON的數(shù)量關系并證明.

【答案】1)見詳解;(2)見詳解;(3ON2OM,理由見詳解

【解析】

1)由正方形的性質(zhì)可得ABAD,由ASA可證ABM≌△ADN,可得AMAN;

2)由題意可得∠CAM=∠NAD22.5°,∠ACB=∠MNA45°,即可證AMC∽△AEN,即可證AM2AEAC

3)先求出AM,進而求出MFNFBF,再判斷出ABM∽△AFO,進而求出FO,即可得出結論.

證明(1)∵四邊形ABCD是正方形,

ABAD,∠CAD45°=∠ACB,∠BAD90°=∠CDA=∠B,

∴∠BAM+MAD90°,

∵∠MAN90°,

∴∠MAD+DAN90°,

∴∠BAM=∠DAN,

ADAB,∠ABC=∠ADN90°,

∴△ABM≌△ADNASA

AMAN;

2)∵AMAN,∠MAN90°

∴∠MNA45°,

∵∠CAD2NAD45°,

∴∠NAD22.5°

∴∠CAM=∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD22.5°

∴∠CAM=∠NAD,∠ACB=∠MNA45°,

∴△AMC∽△AEN,

AMANACAE,

ANAM

AM2ACAE;

3ON2OM,理由:如圖,

RtABM中,AM1,AB3

根據(jù)勾股定理得,BM,

過點BBFMNF,

∴∠OFB=∠A90°

由(1)知,AMAN,

∵∠MBN90°,

FBNFMF,∠MBF45°

AC是正方形ABCD的對角線,

∴∠ABC45°=∠MBF

∴∠ABM=∠FBO,

∴△ABM∽△FBO,

,

FO,

OMMFFOONNF+FO,

ON2OM

練習冊系列答案
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