Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為等腰直角三角形，，．

（1）如圖1，直接寫出點的坐標；

（2）如圖2，若為邊上一動點，連接，過作，交于點，交于點，點是的中點，連接、，猜想的度數(shù)，并說明理由．

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點作，交軸于點，連接，當點在邊上（不含端點）運動過程中，等式是否成立？若成立，請證明：若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (4，0)；(2)∠FED =45°，理由見解析；(3)成立，理由見解析

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性質，即可求得OB的長，從而求得點B的坐標；

(2)利用垂直的性質得∠AEO=∠AFO=90°，利用四點共圓的知識即可求解；

(3) 作AH∥OC交y軸于點H，證得四邊形AGOH為平行四邊形，再證得和，利用等量代換，即可證明結論．

(1)作AF⊥OB于F，

∵，且為等腰直角三角形，點A的坐標為(2，2)，

∴OF=AF=BF=2，

∴OB=OF+BF=4，

∴點B的坐標為(4，0)；

(2) ∠FED =45°，

理由如下：

∵∠BAO=90°，AB=AO，
∴∠AOB=45°，
∵AE⊥OC，AF⊥OB，

∴∠AEO=∠AFO=90°，
∴A、O、F、E四點共圓，
∴∠FED=∠AOB=45°；

(3) 等式成立，

理由如下：

過A作AH∥OC交y軸于點H，設AF與OC交于點G，

∵AF⊥OB，

∴AG∥y軸，

∴四邊形AGOH為平行四邊形，

∴OH=AG，AH=OG；

∵∠BAO=90°，AB=AO，AF⊥OB，

∴∠OAF=∠OBA=45°，

∵∠CAO=90°，AE⊥OC，

∴∠OAE+∠EAC=90°，∠OAE+∠AOC=90°，

∴∠EAC=∠AOC，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，；

∵AM∥EF，

∴∠MAD=∠span>FED=45°，

∵AH∥OC，AE⊥OC，

∴AE⊥AH，

∴∠HAE=90°，

∴∠MAH=∠MAD=45°，

在和中，

，

∴，

∴MD=MH，

∴MD=MH=OM+OH=OM+BD，

∴