Question

【題目】如圖，點P為正方形ABCD的對角線AC上的一點，連接BP并延長交CD于點E，交AD的延長線于點F，⊙O是△DEF的外接圓，連接DP．

（1）求證：DP是⊙O的切線；

（2）若tan∠PDC＝，正方形ABCD的邊長為4，求⊙O的半徑和線段OP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑，.

【解析】

（1）連接OD，可證△CDP≌△CBP，可得∠CDP=∠CBP，由∠CBP+∠BEC=90°，∠BEC=∠OED=∠ODE，可證出∠ODP=90°，則DP是⊙O的切線；

（2）先求出CE長，在Rt△DEF中可求出EF長，證明△DPE∽△FPD，由比例線段可求出EP長，則OP可求出．

解：（1）連接OD，

∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，

∴△CDP≌△CBP（SAS），

∴∠CDP＝∠CBP，

∵∠BCD＝90°，

∴∠CBP+∠BEC＝90°，

∵OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

又∵∠OED＝∠BEC，

∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE，

∴∠CDP+∠ODE＝90°，

∴∠ODP＝90°，

∴DP是⊙O的切線；

（2）∵∠CDP＝∠CBE，

∴tan，

∴CE＝，

∴DE＝2，

∵∠EDF＝90°，

∴EF是⊙O的直徑，

∴∠F+∠DEF＝90°，

∴∠F＝∠CDP，

在Rt△DEF中，，

∴DF＝4，

∴＝＝2，

∴，

∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，

∴△DPE∽△FPD，

∴，

設(shè)PE＝x，則PD＝2x，

∴，

解得x＝，

∴OP＝OE+EP＝．