Question

【題目】如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，

∴可得A（1，0），B（0，﹣3），

把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x2+bx+c得： ，

解得： ．

∴拋物線解析式為：y=x2+2x﹣3

（2）

解：令y=0得：0=x2+2x﹣3，

解得：x1=1，x2=﹣3，

則C點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），AC=4，

故可得S△ABC= AC×OB= ×4×3=6

（3）

解：存在，理由如下：

拋物線的對(duì)稱軸為：x=﹣1，假設(shè)存在M（﹣1，m）滿足題意：

討論：

①當(dāng)MA=AB時(shí)，

∵OA=1，OB=3，

∴AB= ，

，

解得： ，

∴M1（﹣1， ），M2（﹣1，﹣ ）；

②當(dāng)MB=BA時(shí)， ，

解得：M3=0，M4=﹣6，

∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合題意舍去），

③當(dāng)MB=MA時(shí)， ，

解得：m=﹣1，

∴M5（﹣1，﹣1），

答：共存在4個(gè)點(diǎn)M1（﹣1， ），M2（﹣1，﹣ ），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM為等腰三角形

【解析】（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析式；（2）由（1）求得的拋物線解析式，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出AC的長(zhǎng)度，代入三角形的面積公式即可計(jì)算；（3）根據(jù)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，m），分三種情況討論，①M(fèi)A=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．