Question

【題目】已知AB是半圓O的直徑，M，N是半圓上不與A，B重合的兩點，且點N在上.

（1）如圖1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的長；

（2）如圖2，過點M作MC⊥AB于點C，P是MN的中點，連接MB，NA，PC，試探究∠MCP，∠NAB，∠MBA之間的數(shù)量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）∠MCP＋∠MBA＋∠NAB＝90°，證明見解析

【解析】

（1）只要證明△OBN是等邊三角形即可解決問題；

（2）結論：∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．如圖2中，畫⊙O，延長MC交⊙O于點Q，連接NQ，NB．關鍵是證明CP∥QN.

（1）如圖1，∵AB是半圓O的直徑，

∴∠M＝90°．

在Rt△AMB中，AB＝

∴AB＝10.

∴OB＝5．

∵OB＝ON，

又∵∠NOB＝60°，

∴△NOB是等邊三角形．

∴NB＝OB＝5．

（2）證明：如圖2，

畫⊙O，延長MC交⊙O于點Q，連接NQ，NB.

∵MC⊥AB，

又∵OM＝OQ，

∴MC＝CQ.

即C是MN的中點

又∵P是MQ的中點，

∴CP是△MQN的中位線.

∴CP∥QN.

∴∠MCP＝∠MQN.

∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON，

∴∠MQN＝∠MBN.

∴∠MCP＝∠MBN.

∵AB是直徑，

∴∠ANB＝90°．

∴在△ANB中，∠NBA＋∠NAB＝90°.

∴∠MBN＋∠MBA＋∠NAB＝90°.

即∠MCP＋∠MBA＋∠NAB＝90°