Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為P，連接AC．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線上找一點(diǎn)D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）M（﹣1，2）或（﹣1，6）

【解析】（1）設(shè)此拋物線的解析式為： ，

由題意得：

（2）∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，3），∴OA=1，OC=3，

∵DC⊥AC，OC⊥x軸，∴△QOC∽△COA，∴，即，

∴OQ=9，，又∵點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，∴Q（﹣9，0），

設(shè)直線DC的解析式為：y=mx+n，則，

解之得： ，

∴直線DC的解析式為： ，

∵點(diǎn)D是拋物線與直線DC的交點(diǎn)，

∴，

解之得： ， （不合題意，應(yīng)舍去），

∴點(diǎn)D（，

用其他解法參照給分；

（3）如圖，點(diǎn)M為直線x=﹣1上一點(diǎn)，連接AM，PC，PA，

設(shè)點(diǎn)M（﹣1，y），直線x=﹣1與x軸交于點(diǎn)E，

∴AE=2，

∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的頂點(diǎn)為P，對稱軸為x=﹣1，

∴P（﹣1，4），

∴PE=4，

則PM=|4﹣y|，

∵S四邊形AEPC=S四邊形OEPC+S△AOC，

===5，

又∵S四邊形AEPC=S△AEP+S△ACP，

S△AEP，

∴+S△ACP=5﹣4=1，

∵S△MAP=2S△ACP，

∴，

∴|4﹣y|=2，

∴y1=2，y2=6，

故拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)M使S△MAP=2S△ACP，

點(diǎn)M（﹣1，2）或（﹣1，6）．