Question

【題目】將一塊正方形和一塊等腰直角三角形如圖1擺放．

（1）如果把圖1中的△BCN繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖2，則∠GBM=；

（2）將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)．
①當(dāng)M，N分別在AD，CD上（不與A，D，C重合）時，線段AM，MN，NC之間有一個不變的相等關(guān)系式，請你寫出這個關(guān)系式：；（不用證明）
②當(dāng)點M在AD的延長線上，點N在DC的延長線時（如圖3），①中的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由；若不成立，寫出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45°
（2）MN=AM+CN
【解析】解：（1）在正方形ABCD和等腰直角△BEF中，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠GBA=∠CBN，
∴∠ABM+∠GBA=45°，
即∠GBM=45°，
所以答案是：45°；
⑵①AM+NC=MN；
理由：∵把圖1中的△BCN繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，
∴∠GAB=∠C=90°，AG=CN，BG=BN，∠ABG=∠CBN，
∴∠GAB+∠DAB=180°，
∴D，A，G三點共線，
∴∠ABM+∠GBA=45°，
∴∠GBM=∠MBN，
在△GBM與△NBM中， ，
∴△GBM≌△NBM，
∴GM=MN，
∵GM=AG+AM=CN+AM，
∴MN=AM+CN；
所以答案是：MN=AM+CN；
②上面的式子不成立，結(jié)論是：AM﹣NC=MN，
理由：在AM上截取AG，使得AG=CN，連結(jié)BG；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCN=90°，
在△BAG與△BCN中， ，
∴△BAG≌△BCN，
∴BG=BN，∠ABG=∠NBC，
∴∠MBN=∠MBC+∠CBN=∠MBC+∠ABG=45°=∠GBM，
在△BGM與△BMN中，
，
∴△BGM≌△BNM，
∴GM=NM，
∴AM﹣CN=MN．

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．