Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝4∠BAC．延長BC到點D，使CD＝CB，連接AD，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：∠B＝2∠BAD；

（3）用等式表示線段EA，EB和DB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EA＝EB+DB，見解析.

【解析】

（1）根據(jù)要求作圖即可；

（2）由∠ACB＝90°，CD＝CB知AD＝AB．據(jù)此得∠BAD＝2∠BAC．結(jié)合∠B＝4∠BAC可得答案；

（3）在EA上截取EG＝EB，連接DG．由DE⊥AB知DG＝DB．從而得∠DGB＝∠B．結(jié)合∠B＝2∠BAD知∠DGB＝2∠BAD．由∠DGB＝∠BAD+∠ADG知∠BAD＝∠ADG．從而得GA＝GD、GA＝DB．繼而可得答案．

（1）補全圖形如圖：

（2）證明：∵∠ACB＝90°，CD＝CB，

∴AD＝AB．

∴∠BAD＝2∠BAC．

∵∠B＝4∠BAC，

∴∠B＝2∠BAD．

（3）EA＝EB+DB，

證明：在EA上截取EG＝EB，連接DG．

∵DE⊥AB，

∴DG＝DB．

∴∠DGB＝∠B．

∵∠B＝2∠BAD，

∴∠DGB＝2∠BAD．

∵∠DGB＝∠BAD+∠ADG，

∴∠BAD＝∠ADG．

∴GA＝GD．

∴GA＝DB．

∴EA＝EG+AG＝EB+DB．