【題目】如圖,△ABCO的內(nèi)接三角形,ABO的直徑,將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD,交O于點(diǎn)D.連接CDAB于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BDCA相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)AAGCDBP于點(diǎn)G

1)求證:直線GAO的切線;

2)求證:AC2GDBD;

3)若tanAGB,PG6,求cosP的值.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3

【解析】

1)欲證明直線GAO的切線,只需推知OAGA即可;

2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到:ACAD.通過(guò)相似三角形△BAD∽△AGD的對(duì)應(yīng)邊成比例得到:.所以AC2AD2GDBD

3cosP,所以需要求得線段PD、PA的長(zhǎng)度;利用(2)中的AD2GDBD和銳角三角函數(shù)的定義求得BD2GD;根據(jù)PAG∽△PBA是對(duì)應(yīng)邊成比例得到:PA2PGPB,即PA266+3GD);結(jié)合勾股定理知PA2AD2+PD2.所以66+3GD)=(2+6+GD2.利用方程思想求得答案.

1)證明:∵將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD,

BCBD

∴點(diǎn)BCD的垂直平分線上.

同理得:點(diǎn)ACD的垂直平分線上.

ABCDOACD,

AGCD

OAGA

OAO的半徑,

∴直線GAO的切線;

2)證明:∵ABO的直徑,

∴∠ACB=∠ADB90°.

∴∠ABD+BAD90°.

∵∠GAB90°,

∴∠GAD+BAD90°.

∴∠ABD=∠GAD

∵∠ADB=∠ADG90°,

∴△BAD∽△AGD

AD2GDBD

ACAD,

AC2GDBD;

3)解:∵tanAGB,∠ADG90°,

AD2GDBD,

BD2GD

,

∴∠GAD=∠GBA=∠PCD

AGCD,

∴∠PAG=∠PCD

∴∠PAG=∠PBA

∵∠P=∠P,

∴△PAG∽△PBA

PA2PGPB

PG6,BD2GD,

PA266+3GD).

∵∠ADP90°,

PA2AD2+PD2

66+3GD)=(2+6+GD2

解得:GD2GD0(舍去).

PD8,AP6,

cosP

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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①甲、乙兩地相距1800千米;

②點(diǎn)B的實(shí)際意義是兩車(chē)出發(fā)后4小時(shí)相遇;

m6,n900;

④動(dòng)車(chē)的速度是450千米/小時(shí).

其中不正確的是( 。

A.B.C.D.

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【題目】【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小聰把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°ADG,通過(guò)證明AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD

【類(lèi)比引申】

1)如圖2,點(diǎn)EF分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長(zhǎng)線上,∠EAF=45°,連接EF,請(qǐng)根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫(xiě)出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

【聯(lián)想拓展】

2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長(zhǎng).

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A.0B.1C.2D.3

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