Question

【題目】如圖，AH是⊙O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E的直線FG⊥AF，垂足為F，B為半徑OH上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊BC和CD上．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，連接OE，

∵OA=OE，

∴∠EAO=∠AEO，

∵AE平分∠FAH，

∴∠EAO=∠FAE，

∴∠FAE=∠AEO，

∴AF∥OE，

∴∠AFE+∠OEF=180°，

∵AF⊥GF，

∴∠AFE=∠OEF=90°，

∴OE⊥GF，

∵點(diǎn)E在圓上，OE是半徑，

∴GF是⊙O的切線

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，CD=10，

∴AB=CD=10，∠ABE=90°，

設(shè)OA=OE=x，則OB=10﹣x，

在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，

由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，

∴（10﹣x）2+52=x2，

∴ ，

，

∴⊙O的直徑為

【解析】（1）根據(jù)OA=OE和AE平分∠FAH，易證得AF∥OE，再由FG⊥AF，從而證得OE⊥GF，即可得出結(jié)論。
（2）由四邊形ABCD是矩形，可求出AB的長及∠ABE=90°，已知EB=5，因此連接OE，在Rt△OBE中，設(shè)圓的半徑為x，可表示出OB的長，根據(jù)勾股定理即可求得圓的半徑和直徑。
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念和矩形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．