Question

【題目】一個(gè)問(wèn)題解決往往經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)猜想——探索歸納——問(wèn)題解決的過(guò)程，下面結(jié)合一道幾何題來(lái)體驗(yàn)一下.

（發(fā)現(xiàn)猜想）（1）如圖①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC為∠BOD的角平分線，則∠AOC的度數(shù)為 ；.

（探索歸納）（2）如圖①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC為∠BOD的角平分線. 猜想∠AOC的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示），并說(shuō)明理由.

（問(wèn)題解決）（3）如圖②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射線OB繞點(diǎn)O以每秒20°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點(diǎn)O每秒30°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線OA重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng). 運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？

Answer 1

【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝；理由見(jiàn)解析；（3）經(jīng)過(guò)，，4秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.

【解析】

（1）根據(jù)∠AOD、∠AOB、∠BOD之間的關(guān)系，求出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)算出∠BOC的度數(shù)，再計(jì)算∠AOC即可解決問(wèn)題.

（2）根據(jù)∠AOD、∠AOB、∠BOD之間的關(guān)系，用m、n表示出∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)用m、n的代數(shù)式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解決問(wèn)題.

（3）根據(jù)各角之間存在的數(shù)量關(guān)系，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒時(shí)，分別用x將∠DOA、∠COA、∠BOA表示出來(lái)，然后分四類(lèi)情況討論，根據(jù)角平分線的性質(zhì)列出方程，解決即可.

（1）85°；

（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n

∴∠BOD＝n－m

∵OC為∠BOD的角平分線

∴∠BOC＝

∴∠AOC＝+m＝

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為x秒，

則∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；

①當(dāng)在x＝之前，OC為OB，OD的角平分線；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；

②當(dāng)x在和2之間，OD為OC，OB的角平分線；－30+20x＝100－50x，x2＝；

③當(dāng)x在2和之間，OB為OC，OD的角平分線；70－30x＝－100+50x，x3＝；

④當(dāng)x在和4之間，OC為OB，OD的角平分線；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.

答：經(jīng)過(guò)，，4秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.