Question

【題目】老師布置了一個(gè)作業(yè)，如下：已知：如圖1的對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).求證：四邊形是菱形.

某同學(xué)寫出了如圖2所示的證明過程，老師說該同學(xué)的作業(yè)是錯(cuò)誤的.請(qǐng)你解答下列問題：

（1）能找出該同學(xué)錯(cuò)誤的原因嗎？請(qǐng)你指出來(lái)；

（2）請(qǐng)你給出本題的正確證明過程.

Answer 1

【答案】（1）能，見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）直接利用菱形的判定方法分析得出答案；
（2）直接利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出EO=FO，進(jìn)而得出答案．

解：（1）能；該同學(xué)錯(cuò)在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但未證明AC垂直平分EF，

需要通過證明得出；

（2）證明： ∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠FAC＝∠ECA．

∵EF是AC的垂直平分線，

∴OA＝OC．

∵在△AOF與△COE中，

,

∴△AOF≌△COE（ASA）．

∴EO＝FO．

∴AC垂直平分EF．

∴EF與AC互相垂直平分．

∴四邊形AECF是菱形．