Question

【題目】如圖，A是半徑為6cm的⊙O上的定點(diǎn)，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以πcm/s的速度沿圓周按順時(shí)針方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P回到A時(shí)立即停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t（s）;

（1）當(dāng)t=6s時(shí)，∠POA的度數(shù)是________；

（2）當(dāng)t為多少時(shí)，∠POA=120°；

（3）如果點(diǎn)B是OA延長線上的一點(diǎn)，且AB=AO，問t為多少時(shí)，△POB為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）180；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間t為4s或8s時(shí)，∠POA=120°；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為2s或3s或9s或10s時(shí)，△POB為直角三角形．

【解析】

（1）先根據(jù)路程=速度×時(shí)間得出當(dāng)t=6s時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動的路程即弧AP的長度，再根據(jù)弧長公式即可求出∠POA的度數(shù)；

（2）當(dāng)∠POA=120°時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的或，所以分兩種情況進(jìn)行分析；

（3）△POB為直角三角形時(shí)，由于動點(diǎn)P沿圓周運(yùn)動，所以以B為頂點(diǎn)的角不可能為直角，那么分∠POB=90°，∠OPB=90°兩種情況進(jìn)行分析．

解：（1）設(shè)∠POA=n°，則

=6π=，

∴n=180．

即∠POA的度數(shù)是180．

故答案為180；

（2）當(dāng)∠POA=120°時(shí)，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的（圖中P1處）或（圖中P2處），

設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為ts．

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時(shí)，πt=2π6，

解得t=4；

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時(shí)，πt=2π6，

解得t=8；

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間t為4s或8s時(shí)，∠POA=120°；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)∠POB=90°時(shí)，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的（圖中P1處）或（圖中P2處），

設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為ts．

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時(shí)，πt=2π6，

解得t=3；

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為⊙O周長的時(shí)，πt=2π6，

解得t=9．

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為3s或9s時(shí)，△POB為直角三角形；

②當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，如圖，（圖中P3處）或（圖中P4處），

設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為ts．

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動P3處時(shí)，連接AP3．

∵∠OP3B=90°，OA=AB，

∴AP3=OA=OP3，

∴△OAP3是等邊三角形，

∴∠AOP3=60°，

∴πt=2π6，

解得t=2；

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動P4處時(shí)，連接AP4．

∵∠OP4B=90°，OA=AB，

∴AP4=OA=OP4，

∴△OAP4是等邊三角形，

∴∠AOP4=60°，

∴πt=（1﹣）2π6，

解得t=10．

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為2s或10s時(shí)，△POB為直角三角形．

綜上可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為2s或3s或9s或10s時(shí)，△POB為直角三角形．