Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B在x正半軸上，且∠ABO=30度．動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在x軸上取兩點(diǎn)M，N作等邊△PMN．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求等邊△PMN的邊長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示），并求出當(dāng)?shù)冗?/span>△PMN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn)O重合時(shí)t的值；

（3）如果取OB的中點(diǎn)D，以OD為邊在Rt△AOB內(nèi)部作如圖2所示的矩形ODCE，點(diǎn)C在線段AB上．設(shè)等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出當(dāng)0≤t≤2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x+4 (2) PM=8﹣t，t=2 (3)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=2t+6；當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=﹣2t2+6t+4；當(dāng)t=2時(shí)，S=8；最大值為

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線AB得解析式即可；（2）在Rt△AOB中，求得AB=8，即可表示出BP= 8-t，再由tan∠PBM=，即可用t的代數(shù)式表示PM得長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，可得AO=2AP，由此即可求得t值；（3）根據(jù)當(dāng)0≤t≤1時(shí)、當(dāng)1＜t＜2時(shí)及當(dāng)t=2時(shí)，分別求出S與t的函數(shù)解析式，并求得最大值，比較即可.

（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12，

∴B（12，0），設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，

把A和B坐標(biāo)代入得：，

解得：，

則直線AB的解析式為：y=﹣x+4．

（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，

∴AB=2OA=8，

∵AP=t，

∴BP=AB﹣AP=8t，

∵△PMN是等邊三角形，

∴∠MPB=90°，

∵tan∠PBM=，

∴PM=（8﹣t）×=8﹣t．

如圖1，過P分別作PQ⊥y軸于Q，PS⊥x軸于S，

可求得AQ=AP=t，PS=QO=4﹣t，

∴PM=（4﹣）÷=8﹣t，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，

∵∠BAO=60°，

∴AO=2AP．

∴4=2t，

∴t=2．

（3）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，見圖2．

設(shè)PN交EC于點(diǎn)G，重疊部分為直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．

∵∠GNH=60°，，

∴HN=2，

∵PM=8﹣t，

∴BM=16﹣2t，

∵OB=12，

∴ON=（8﹣t）﹣（16﹣2t﹣12）=4+t，

∴OH=ON﹣HN=4+t﹣2=2+t=EG，

∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6．

∵S隨t的增大而增大，

∴當(dāng)t=1時(shí)，Smax=8．

②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，見圖3．

設(shè)PM交EC于點(diǎn)I，交EO于點(diǎn)F，PN交EC于點(diǎn)G，重疊部分為五邊形OFIGN．

作GH⊥OB于H，

∵FO=4﹣2t，

∴EF=2﹣（4﹣2t）=2t﹣2，

∴EI=2t﹣2．

∴S=S梯形ONGE﹣S△FEI=2t+6﹣（2t﹣2）（2t﹣2）=﹣2t2+6t+4

由題意可得MO=4﹣2t，OF=（4﹣2t）×，PC=4﹣t，PI=4﹣t，

再計(jì)算S△FMO=（4﹣2t）2×

S△PMN=（8﹣t）2，S△PIG=（4﹣t）2，

∴S=S△PMN﹣S△PIG﹣S△FMO=（8﹣t）2﹣（4﹣t）2﹣（4﹣2t）2×

=﹣2t2+6t+4

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，Smax=．

③當(dāng)t=2時(shí)，MP=MN=6，即N與D重合，

設(shè)PM交EC于點(diǎn)I，PD交EC于點(diǎn)G，重疊部

分為等腰梯形IMNG，見圖4．S=×62﹣×22=8，

綜上所述：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=2t+6；

當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=﹣2t2+6t+4；

當(dāng)t=2時(shí)，S=8．

∵，

∴S的最大值是 ．