Question

【題目】（12分）在等腰△ABC中，AB=AC=2, ∠BAC=120°,AD⊥BC于D,點O、點P分別在射線AD、BA上的運動，且保證∠OCP=60°，連接OP.

（1）當點O運動到D點時，如圖一，此時AP=______,△OPC是什么三角形。

（2）當點O在射線AD其它地方運動時，△OPC還滿足（1）的結論嗎？請用利用圖二說明理由。

（3）令AO=x，AP=y，請直接寫出y關于x的函數(shù)表達式，以及x的取值范圍。

圖一 圖二

Answer 1

【答案】（1）1，等邊三角形；（2）理由見解析；(3)當時，y=2-x；當時，

y=x-2

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACB=30°，求得∠ACP=30°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結論；（2）過C作CE⊥AP于E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CD=CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=OP，由等邊三角形的判定即可得到結論；（3）分兩種情況解決，在AB上找到Q點使得AQ=OA，則△AOQ為等邊三角形，根據(jù)求得解實現(xiàn)的性質(zhì)得到PA=BQ，求得AC=AO+AP，即可得到結論．

試題解析：

（1）AD=AP=1,

∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

∴∠B=∠ACB=30°，

∵∠OCP=60°，

∴∠ACP=30°，

∵∠CAP=180°﹣∠BAC=60°，

∵AD⊥BC，

∴∠DAC=60°，

在△ADC與△APC中， ，

∴△ACD≌△ACP，

∴CD=CP，

∴△PCO是等邊三角形；

（2）△OPC還滿足（1）的結論，

理由：過C作CE⊥AP于E，

∵∠CAD=∠EAC=60°，

AD⊥CD，

∴CD=CE，

∴∠DCE=60°，

∴∠OCE=∠PCE，

在△OCD與△PCE中， ，

∴△OCD≌△PCE，

∴OC=OP，

∴△OPC是等邊三角形；

（3）當0<x≤2時，

在AB上找到Q點使得AQ=OA，則△AOQ為等邊三角形，

則∠BQO=∠PAO=120°，

在△BQO和△PAO中， ，

∴△BQO≌△PAO（AAS），

∴PA=BQ，

∵AB=BQ+AQ，

∴AC=AO+AP，

∵AO=x，AP=y，

∴y=﹣x+2；

當時， 利用同樣的方法可求得y=x-2