【題目】如圖,在矩形ABCD中,EF分別是AB、AD的中點,連接AC、ECEF、FC,且ECEF

(1)求證:△AEF∽△BCE

(2)若AC=2,求AB的長;

(3)在(2)的條件下,△ABC的外接圓圓心與△CEF的外接圓圓心之間的距離為   

【答案】1)見解析;(22;(3

【解析】

1)利用同角的余角判斷出∠AFE=∠BEC,即可得出結(jié)論;

2)設(shè)AEx,AFy,則BEx,AB2xBCAD2y,進(jìn)而利用AEFBCE,得出,即x22y2①,再用勾股定理得出(2x2+2y2=(22,即x2+y23②,聯(lián)立①②即可得出結(jié)論;

3)先判斷出ABC的外接圓的圓心是AC的中點與CEF的外接圓的圓心為CF的中點,進(jìn)而得出MNAF的一半,再用勾股定理求出AD,進(jìn)而得出AF,即可得出結(jié)論.

1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠EAF=∠CBE90°,

∴∠AEF+AFE90°

ECEF,

∴∠FEC90°

∴∠AEF+BEC90°,

∴∠AFE=∠BEC

∵∠EAF=∠CBE90°,

∴△AEF∽△BCE

2)∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC

E、F分別是AB、AD的中點

AEBEAD,

設(shè)AExAFy,

BEx,AB2xBCAD2y,

∵△AEFBCE

,

x22y2①,

∵∠B90°

AB2+BC2AC2,

∴(2x2+2y2=(22

x2+y23②,

由①②得,(舍)或(舍)或(舍)或

AE,AF1

∵點EAB的中點,

AB2AE2

3)解:如圖,

∵∠CEF90°

∴△CEF是直角三角形,

∴△CEF的外接圓的圓心是斜邊CF的中點,記作點M,

CMFM,

∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,∠ABC90°,

∴△ABC是直角三角形,

∴△ABC的外接圓的圓心是斜邊AC的中點,記作N

ANCN,

CMFM

MNAF,

由(2)知,AB2,

AC2

根據(jù)勾股定理得,BC2

AD2,

∵點FAD的中點,

AFAD1,

MNAF

故答案為:

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1)求拋物線的解析式;

2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值;

3APD能否構(gòu)成直角三角形?若能請直接寫出點P坐標(biāo),若不能請說明理由;

4)在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MAMC|最大?若存在請求出點M的坐標(biāo),若不存在請說明理由.

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1)求拋物線的表達(dá)式;

2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;

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(1)ABD≌△BCE

(2)AEF∽△ABE.

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