【題目】如圖,已知拋物線y=x22x3經(jīng)過x軸上的A,B兩點,與y軸交于點C,線段BC與拋物線的對稱軸相交于點D,點Ey軸上的一個動點.

1)求直線BC的函數(shù)解析式,并求出點D的坐標;

2)設(shè)點E的縱坐標為為m,在點E的運動過程中,當BDE中為鈍角三角形時,求m的取值范圍;

3)如圖2,連結(jié)DE,將射線DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,與拋物線交點為G,連結(jié)EG,DG得到RtGED.在點E的運動過程中,是否存在這樣的RtGED,使得兩直角邊之比為21?如果存在,求出此時點G的坐標;如果不存在,請說明理由.

【答案】1 y=x3,D點坐標為(1,﹣2);(2 m3m<﹣1m3;(3)存在. G點坐標為(1)或(30)或(1)或(﹣1,0).

【解析】

1)先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出A(﹣1,0),B3,0),利用對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=1,再求出C0,﹣3),然后利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式;當x=1時,y=x3=2,則D點坐標為(1,﹣2);

2)如圖1,先判斷△OBC為等腰直角三角形,則∠OCB=OBC=45°,再計算出CD,然后通過求出△BDE為直角三角形時m的值來確定△BDE為鈍角三角形時m的取值范圍;

3)分類討論:①當點G在對稱軸右側(cè)的拋物線上時,如圖2,作DFy軸于F,GHDFH,設(shè)Gt,t22t3),則GH=t22t3﹣(﹣2=t22t1,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EDG=90°,接著證明RtEDFRtDGH,利用相似的性質(zhì)得,分2,列方程求出t的值,進而求出G的坐標;②當點G在對稱軸左側(cè)的拋物線上時,用同樣的方法可得G點坐標.

1)當y=0時,x22x3=0,解得:x1=1,x2=3,則A(﹣1,0),B30),所以拋物線的對稱軸為直線x=1,當x=0時,y=x22x3=3,則C0,﹣3).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,把B30),C0,﹣3)代入得:,解得:,所以直線BC的解析式為y=x3

x=1時,y=x3=13=2,則D點坐標為(1,﹣2);

2)如圖1

B3,0),C0,﹣3),∴△OBC為等腰直角三角形,∴∠OCB=OBC=45°.

D1,﹣2),∴CD,當∠EDB=90°時,則△CDE為等腰直角三角形,∴CECD2,∴OE=32=1,此時E0,﹣1),∴當m<﹣1m≠﹣3時,∠EDB為鈍角,△EDB為鈍角三角形;

當∠EBD=90°時,則△OBE為等腰直角三角形,∴OE=OB=3,此時E0,3),∴當m3時,∠EDB為鈍角,△EDB為鈍角三角形;

m的取值范圍為m3m<﹣1m≠﹣3;

3)存在.

①當點G在對稱軸右側(cè)的拋物線上時,如圖2,作DFy軸于F,GHDFH,設(shè)Gt,t22t3),則GH=t22t3﹣(﹣2=t22t1

∵射線DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,與拋物線交點為G,∴∠EDG=90°,∴∠EDF+GDH=90°,而∠EDF+DEF=90°,∴∠DEF=GDH,∴RtEDFRtDGH,∴,分兩種情況討論:

i)若2,則2,即t22t1,解得:t1=1(舍去),t2=1,此時G點坐標為(1);

ii)若,則,即t22t1=2,解得:t1=1(舍去),t2=3,此時G點坐標為(3,0);

②當點G在對稱軸左側(cè)的拋物線上時,用同樣的方法可得G點坐標為(1)或(﹣1,0).

綜上所述:G點坐標為(1)或(3,0)或(1)或(﹣1,0).

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血型

A

B

AB

O

人數(shù)

   

10

5

   

(1)這次隨機抽取的獻血者人數(shù)為   人,m=   

(2)補全上表中的數(shù)據(jù);

(3)若這次活動中該市有3000人義務(wù)獻血,請你根據(jù)抽樣結(jié)果回答:

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學生體能測試成績各等次人數(shù)統(tǒng)計表

體能等級

調(diào)整前人數(shù)

調(diào)整后人數(shù)

優(yōu)秀

8

   

良好

16

   

及格

12

   

不及格

4

   

合計

40

   

(1)填寫統(tǒng)計表;

(2)根據(jù)調(diào)整后數(shù)據(jù),補全條形統(tǒng)計圖;

(3)若該校共有學生1500人,請你估算出該校體能測試等級為優(yōu)秀的人數(shù).

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