已知m,n是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,求證:以m+n為邊長的正方形面積與以m、n為邊長的矩形面積之比不小于4.
【答案】
分析:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得m+n=-

,mn=

;從而推知正方形、長方形的面積;然后根據(jù)一元二次方程的根的判別式求得它們的比值即可.
解答:證明:∵m,n是關(guān)于x的一元二次方程ax
2+bx+c=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,
∴m+n=-

,mn=

,
∴以m+n為邊長的正方形面積S
正方形=(m+n)
2=

,a、c同號(hào);
以m、n為邊長的矩形面積S
矩形=mn=

,
∴S
正方形:S
矩形=b
2:ac;
又關(guān)于x的一元二次方程ax
2+bx+c=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,
∴b
2-4ac≥0,即b
2≥4ac,∴

≥4,
即S
正方形:S
矩形=b
2:ac≥4,
∴以m+n為邊長的正方形面積與以m、n為邊長的矩形面積之比不小于4.
點(diǎn)評:本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.在根據(jù)一元二次方程的根的判別式求b
2與ac的比值時(shí),要注意需要討論ac的符號(hào).