Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，6），B（3，n）兩點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積.

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+8 ；（2）P（0,5） 3

【解析】試題分析：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出m的值，再將x=3代入反比例函數(shù)解析式解得n的值，由此得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)P，在y軸上任選一點(diǎn)不同于P點(diǎn)的P′點(diǎn)，由三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊來驗(yàn)證點(diǎn)P就是我們找到的使得PA+PB的值最小的點(diǎn)，由A點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求出直線A′B的函數(shù)表達(dá)式，令x=0即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；再結(jié)合三角形的面積公式與點(diǎn)到直線的距離即可求出△PAB的面積．

試題解析：解：（1）將點(diǎn)A（1，6）代入反比例函數(shù)中，得6=，即m=6．

故反比例函數(shù)的解析式為．

∵點(diǎn)B（3，n）在反比例函數(shù)上，∴n==2．即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2）．

將點(diǎn)A（1，6）、點(diǎn)B（3，2）代入y=kx+b中，得： ，解得： ．

故一次函數(shù)的解析式為y=﹣2x+8．

（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)P，如圖1所示．

在y軸上任取一點(diǎn)P′（不同于點(diǎn)P）．∵A、A′關(guān)于y軸對(duì)稱，∴AP=A′P，AP′=A′P′．在△P′A′B中，有A′P′+BP′=AP′+BP′＞A′B=A′P+BP=AP+BP，∴當(dāng)A′、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB最小．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，6），∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣1，6）．

設(shè)直線A′B的解析式為y=ax+b，將點(diǎn)A′（﹣1，6）、點(diǎn)B（3，2）代入到y=ax+b中，得： ，解得： ，∴直線A′B的解析式為y=﹣x+5，令x=0，則有y=5．

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）．

直線AB解析式為y=﹣2x+8，即2x+y﹣8=0．

AB==，點(diǎn)P到直線AB的距離d==．

△PAB的面積S=ABD=××=3．