Question

【題目】（1）探究新知：

①如圖，已知AD∥BC，AD＝BC，點(diǎn)M，N是直線CD上任意兩點(diǎn)．試判斷△ABM與△ABN的面積是否相等.

②如圖，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，點(diǎn)M是直線CD上任一點(diǎn)，點(diǎn)G是直線EF上任一點(diǎn)．試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．

（2）結(jié)論應(yīng)用：

如圖③，拋物線的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)D.試探究在拋物線上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析.②相等；理由見解析.（2）存在.

【解析】

試題（1）①由于CD∥AB，所以△ABM和△ABN中，AB邊上的高相等，則兩個三角形是同底等高的三角形，所以它們的面積相等；

②分別過D、E作AB的垂線，設(shè)垂足為H、K；通過證△DAH≌△EBK，來得到DH=KE；則所求的兩個三角形是同底等高的三角形，由此得證；

（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，即可求得拋物線的解析式，進(jìn)而可求出A、D的解析式；用待定系數(shù)法可確定直線AD的解析式；假設(shè)存在符合條件的E點(diǎn)，過C作CD⊥x軸于D，交直線AD于H；過E作EF⊥x軸于F，交直線AD于P；根據(jù)拋物線的對稱軸方程及直線AD的解析式，易求得H點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到CH的長；設(shè)出E點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AD和拋物線的解析式，可表示出P、E的縱坐標(biāo)，即可得到PE的長；根據(jù)（1）題得到的結(jié)論，當(dāng)PE=CH時，所求的兩個三角形面積相等，由此可列出關(guān)于E點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，從而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．（需注意的是E點(diǎn)可能在直線AD的上方或下方，這兩種情況下PE的表達(dá)式會有所不同，要分類討論）

試題解析：證明：（1）①分別過點(diǎn)M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E，F

∵AD∥BC，AD=BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形；

∴AB∥CD；

∴ME=NF；

∵S△ABM=，S△ABN=，

∴S△ABM=S△ABN

②解：相等；理由如下：分別過點(diǎn)D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分別為H，K；

則∠DHA=∠EKB=90°；

∵AD∥BE，

∴∠DAH=∠EBK；

∵AD=BE，

∴△DAH≌△EBK；

∴DH=EK；（2分）

∵CD∥AB∥EF，

∴S△ABM=，S△ABG=，

∴S△ABM=S△ABG；

解：（2）存在．

因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C（1，4），

所以，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-1）2+4；

又因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），

所以將其坐標(biāo)代入上式，得0=a（3-1）2+4，解得a=-1；

∴該拋物線的表達(dá)式為y=-（x-1）2+4，

即y=-x2+2x+3；

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+3，

代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，得0=3k+3，解得k=-1；

∴直線AD的表達(dá)式為y=-x+3；

過C點(diǎn)作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點(diǎn)H；則H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1+3=2；

∴CH=CG-HG=4-2=2；

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-m2+2m+3；

過E點(diǎn)作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3-m，EF∥CG；

由﹙1﹚可知：若EP=CH，則△ADE與△ADC的面積相等；

①若E點(diǎn)在直線AD的上方，

則PF=3-m，EF=-m2+2m+3，

∴EP=EF-PF=-m2+2m+3-（3-m）=-m2+3m；

∴-m2+3m=2，

解得m1=2，m2=1；

當(dāng)m=2時，PF=3-2=1，EF=1+2=3；

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；

同理當(dāng)m=1時，E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），與C點(diǎn)重合；

②若E點(diǎn)在直線AD的下方，

則PE=（3-m）-（-m2+2m+3）=m2-3m；

∴m2-3m=2，

解得，；

當(dāng)時，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；

當(dāng)時，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；

∴在拋物線上存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點(diǎn)的坐標(biāo)為E1（2，3）；E2（，）；E3（，）．