Question

如圖，拋物線y=－x²+x－2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將△BDC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF．
（1）求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；
（2）求△BCF的面積；
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）直線BC的解析式為y=x﹣3；
（2）△BCF的面積為10；
（3）在線段BC上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似， P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）或（，﹣）．

解析試題分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可得點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)勾股定理可得BC的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形面積公式即可求解；
（3）存在．分兩種情況討論：①過A作AP₁⊥x軸交線段BC于點(diǎn)P₁，則△BAP₁∽△BOC；②過A作AP₂⊥BC，垂足點(diǎn)P₂，過點(diǎn)P₂作P₂Q⊥x軸于點(diǎn)Q．則△BAP₂∽△BCO；依此討論即可求解．
試題解析：（1）當(dāng)y=0時，﹣x²+x﹣2=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（4，0），
當(dāng)x=0時，y=﹣2，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，﹣2），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，
解得．
∴直線BC的解析式為y=x﹣3；
（2）∵CD∥x軸，BD∥y軸，
∴∠ECD=90°，
∵點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，﹣2），
∴BC==2，
∵△FEC是由△BDC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴△BCF的面積=BC•FC=×2×2=10；
（3）存在．分兩種情況討論：
①過A作AP₁⊥x軸交線段BC于點(diǎn)P₁，則△BAP₁∽△BOC，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)是2，
∵點(diǎn)P₁在點(diǎn)BC所在直線上，
∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（2，﹣1）；
②過A作AP₂⊥BC，垂足點(diǎn)P₂，過點(diǎn)P₂作P₂Q⊥x軸于點(diǎn)Q．

∴△BAP₂∽△BCO，
∴,
∴，
解得AP₂=，
∵，
∴AP₂•BP=CO•BP₂，
∴×4=2BP₂，
解得BP₂=，
∵AB•QP₂=AP₂•BP₂，
∴2QP₂=×，
解得QP₂=，
∴點(diǎn)P₂的縱坐標(biāo)是﹣，
∵點(diǎn)P₂在BC所在直線上，
∴x=，
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（，﹣），
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）或（，﹣）．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．