Question

【題目】 如圖，已知在中，,,延長(zhǎng)到，使，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙交延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接．

（１）求證：是⊙的切線；

（２）若AB=2,求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明略；（2）.

【解析】

（1）連接OD，求出∠OAD=60°，得出等邊三角形OAD，求出AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，求出∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，求出∠ODC=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）求出OD，根據(jù)勾股定理求出CD長(zhǎng)，分別求出三角形ODC和扇形AOD的面積，相減即可．

（1）證明：連接OD，
∵∠BCA=90°，∠B=30°，
∴∠OAD=∠BAC=60°，
∵OD=OA，
∴△OAD是等邊三角形，
∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，
∴∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，
∴∠ODC=60°+30°=90°，
即OD⊥DC，
∵OD為半徑，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB=2，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴OD=OA=AC=AB=1，
由勾股定理得：CD=,

∴S陰影=S△ODC-S扇形AOD.