Question

【題目】對于某個函數，若自變量取實數，其函數值恰好也等于時，則稱為這個函數的“等量值”．在函數存在“等量值”時，該函數的最大“等量值”與最小“等量值”的差稱為這個函數的“等量距離”，特別地，當函數只有一個“等量值”時，規(guī)定其“等最距離”為0．

（1）請分別判斷函數，，有沒有“等量值”？如果有，直接寫出其“等量距離”；

（2）已知函數．

①若其“等量距離”為0，求的值；

②若，求其“等量距離”的取值范圍；

③若“等量距離”，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數沒有“等量值”；，函數有-1和1兩個“等量值”，其“等量距離”為2；函數有0和1兩個“等量值”，其“等量距離”為1；（2）①；②；（3）的取值范圍為或．

【解析】

（1）根據定義分別求解即可求得答案；

（2）①首先由函數y=2x2-bx=x，求得x（2x-b-1）=0，然后由“等量距離”為0，求得答案；
②由①，利用1≤b≤3，可求得“等量距離”的取值范圍；

③由②可知，，解不等式組，即可得到答案．

解：（1）函數沒有“等量值”，

函數有和1兩個“等量值”，其“等量距離”d為2．

函數有0和1兩個“等量值”，其“等量距離”d為1．

（2）①∵函數的“等量距離”為零，

令，則，

∴，

∴，，

∴，

∴．

②解方程，

得：，．

∵，

∴．

∴，

∴函數的“等量距離”的取值范圍為：．

③由②可知，，

∴或，

∴或；

∴的取值范圍為或．