【題目】問題呈現(xiàn):下圖是小明復(fù)習(xí)全等三角形時(shí)遇到的一個(gè)問題并引發(fā)的思考,請(qǐng)幫助小明完成以下學(xué)習(xí)任務(wù).
請(qǐng)根據(jù)小明的思路,結(jié)合圖①,寫出完整的證明過程.結(jié)論應(yīng)用:
(1)如圖②,在四邊形中,,的平分線和的平分線交于邊上點(diǎn).求證:;
(2)在(1)的條件下,如圖③,若,.當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角是時(shí),的面積是 .
【答案】問題呈現(xiàn):見解析;結(jié)論應(yīng)用:(1)見解析;(2)或8
【解析】
問題呈現(xiàn):由“SAS”可證△MOP≌△NOP,可得PM=PN;
結(jié)論應(yīng)用:(1)在AB上截取AE=AD,連接PE,由“SAS”可證△ADP≌△AEP,△BPC≌△BPE,可得PD=PE=PC;(2)延長(zhǎng)AP,BC交于點(diǎn)H,由“ASA”可證△ADP≌△HCP,可得CP=DP,AD=CH,S△ADP=S△CPH,分三種情況討論,由角平分線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解.
問題呈現(xiàn):
證明:∵平分,
∴.
在和中,
.
∴.
結(jié)論應(yīng)用:
在上截取,
∵平分,
∴,
∵,
∴.
∴.
∵,
∴,
∵平分,
∴.
∵.
∴.
∴.
∴.
(2)由(1)可證∠D=∠AEP,∠PCB=∠PEB,
∵∠AEP+∠PEB=180°,
∴∠PCB+∠D=180°,
∴AD∥BC,
∵AB=10,tan∠PAB==,
∴PA=2PB,
∵PA2+PB2=AB2,
∴PB=2,PA=4,
如圖③,延長(zhǎng)AP,BC交于點(diǎn)H,
∵AD∥BC,
∴∠DAP=∠H,
∴∠H=∠BAP,
∴AB=BH=10,
又∵PB平分∠ABC,
∴BP⊥AP,AP=PH=4,
∵∠DAP=∠H,AP=PH,∠DPA=∠CPH,
∴△ADP≌△HCP(ASA),
∴CP=DP,AD=CH,S△ADP=S△CPH,
若∠PBC=45°時(shí),則∠PBC=∠H=45°,
∴PB=PH(不合題意舍去),
若∠BPC=45°時(shí),則∠HPC=∠BPC=45°,
如圖④,過點(diǎn)C作CN⊥BP于N,CM⊥PH于M,
∴CM=CN,
∵S△PBH=×BP×PH=×BP×CN+×PH×CM,
∴CM=CN=,
∴S△PCH=×4×==S△ADP;
若∠PCB=45°時(shí),
如圖⑤,過點(diǎn)P作PF⊥BC于F,
∵∠PAB=∠H,
∴tanH=tan∠PAB=,
∴,
∴FH=2PF,
∵PF2+FH2=PH2=80,
∴PF=4,FH=8,
∵PF⊥BC,∠BCP=45°,
∴∠PCB=∠FPC=45°,
∴CF=PF=4,
∴CH=4,
∴S△ADP=S△CPH=×4×4=8,
故答案為:8或.
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【題目】截至北京時(shí)間2020年3月22日14時(shí)30分,全球新冠肺炎確診病例達(dá)305740例,超過30萬,死亡病例累計(jì)12762人,將“305740”這個(gè)數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示保留兩位有效數(shù)字為( )
A.3.05740×105B.3.05×105C.3.0×105D.3.1×105
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A.B.C.D.
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(1)請(qǐng)你求出甲轉(zhuǎn)盤指針指向偶數(shù)區(qū)域的概率;
(2)若兩次數(shù)字之和為,或時(shí),則小明勝,否則小亮勝,這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎?請(qǐng)你用樹狀圖或列表法說說你的理由.
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【題目】為了參加學(xué)校舉行的傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽,某班進(jìn)行了四次模擬訓(xùn)練,將成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)和優(yōu)秀率繪制成如下兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
(1)求該班總?cè)藬?shù);
(2)根據(jù)計(jì)算,請(qǐng)你補(bǔ)全兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖;
(3)已知該班甲同學(xué)四次訓(xùn)練成績(jī)?yōu)?/span>85,95,85,95,乙同學(xué)四次成績(jī)分別為85,90,95,90,現(xiàn)需從甲、乙兩同學(xué)中選派一名同學(xué)參加校級(jí)比賽,你認(rèn)為應(yīng)該選派哪位同學(xué)并說明理由.
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【題目】解不等式組,請(qǐng)結(jié)合題意填空,完成本題的解答.
(1)解不等式①,得 ;
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(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:
(4)原不等式組的解集為 .
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