Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點(diǎn)B，C，∠F＝30°.

（1）求證：BE＝CE

（2）將△EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF，EG分別與AB，BC相交于點(diǎn)M，N.（如圖2）

①求證：△BEM≌△CEN；

②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；

③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上（如圖3），求sin∠EBG的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②2；③.

【解析】

（1）只要證明△BAE≌△CDE即可；

（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明；

②構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

③如圖3中，作EH⊥BG于H．設(shè)NG=m，則BG=2m，BN=EN=m，EB=m．利用面積法求出EH，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題.

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵E是AD中點(diǎn)，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE．

（2）①解：如圖2中，

由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，

∴∠EBC=∠ECB=45°，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EBM=∠ECN=45°，

∵∠MEN=∠BEC=90°，

∴∠BEM=∠CEN，

∵EB=EC，

∴△BEM≌△CEN；

②∵△BEM≌△CEN，

∴BM=CN，設(shè)BM=CN=x，則BN=4-x，

∴S△BMN=x（4-x）=-（x-2）2+2，

∵-＜0，

∴x=2時(shí)，△BMN的面積最大，最大值為2．

③解：如圖3中，作EH⊥BG于H．設(shè)NG=m，則BG=2m，BN=EN=m，EB=m．

∴EG=m+m=（1+）m，

∵S△BEG=EGBN=BGEH，

∴EH==m，

在Rt△EBH中，sin∠EBH=．