Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，點(diǎn)D在線段AB上，AD=2．點(diǎn)P，Q以相同的速度從D點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿DB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA方向到點(diǎn)A后立刻以原速返回向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．以PQ為直徑構(gòu)造⊙O，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線交折線AC﹣CB于點(diǎn)E，將線段EP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EF，過(guò)F作FG⊥EP于G，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=m．

（1）當(dāng)2＜m≤8時(shí)，AP=，AQ=．（用m的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)線段FG長(zhǎng)度達(dá)到最大時(shí)，求m的值；

（3）在點(diǎn)P，Q整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①當(dāng)m為何值時(shí)，⊙O與△ABC的一邊相切？

②直接寫(xiě)出點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（1）2+m，m﹣2;（2）m=5.5;（3）①當(dāng)m=1或4或10﹣時(shí)，⊙O與△ABC的邊相切．②點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為+．

【解析】

試題（1）根據(jù)題意可得AP=2+m，AQ=m2.
（2）如圖1中在Rt△EFG中,

推出所以當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，PE的值最大，求出此時(shí)EP的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
（3）①當(dāng) (Q在往A運(yùn)動(dòng))時(shí)，如圖2中，設(shè)切AC于H，連接OH.

當(dāng)(Q從A向B運(yùn)動(dòng))時(shí),則PQ=(2+m)(m2)=4，如圖3中，設(shè)切AC于H.連接OH.如圖4中，設(shè)切BC于N，連接ON.

分別求解即可．
②如圖5中,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是F1→F2→B.分別求出即可解決問(wèn)題．

試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，AP=2+m，AQ=m2.

故答案為2+m，m2.

(2)如圖1中，

在Rt△EFG中,

∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，PE的值最大，

易知此時(shí)

∴m=5.5

(3)①當(dāng) (Q在往A運(yùn)動(dòng))時(shí)，如圖2中，設(shè)切AC于H，連接OH.

則有AD=2DH=2，

∴DH=DQ=1，即m=1.

當(dāng)(Q從A向B運(yùn)動(dòng))時(shí),則PQ=(2+m)(m2)=4，

如圖3中，設(shè)切AC于H.連接OH.

則AO=2OH=4，AP=4+2=6，

∴2+m=6，

∴m=4.

如圖4中，設(shè)切BC于N，連接ON.

在Rt△OBN中,

綜上所述,當(dāng)m=1或4或時(shí)，O與△ABC的邊相切。

②如圖5中,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是F1→F2→B.

易知

為定值，

∴點(diǎn)F的第二段的軌跡是線段

在中,

∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為