Question

20．平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．

（1）如圖2，若AB∥CD，點P在AB、CD內(nèi)部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD．
（2）如圖1，在AB∥CD的前提下，將點P移到AB、CD外部，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
（3）在圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖3，寫出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）過點P作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）連接QP并延長，由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：如圖2，過點P作直線EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠BPF=∠B=50°，∠DPF=∠D=30°，
∴∠BPD=50°+30°=80°；

（2）∠B=∠BPD+∠D．
證明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD．
∵∠BOD=∠BPD+∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D．

（3）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．
證明：如圖3，連接QP并延長，
∵∠BPE=∠B+∠CQE，∠DPE=∠D+∠DQE，
∴∠BPE+DPE=∠B+∠CQE+∠D+∠DQE，即∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．

點評 本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．