【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,CE平分∠BCD,交AB邊于點(diǎn)E,EF∥BC,交CD于點(diǎn)F,點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn),連接GF,且∠1=∠2,CE與GF交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MH⊥CD于點(diǎn)H.
(1)求證:四邊形BCFE是菱形;
(2)若CH=1,求BC的長;
(3)求證:EM=FG+MH.
【答案】(1)見解析;(2)2;(3)見解析.
【解析】
(1)由在平行四邊形ABCD中,EF∥BC,可得四邊形BCFE是平行四邊形,又由CE平分∠BCD,易得△BCE是等腰三角形,繼而證得四邊形BCFE是菱形;
(2)由∠1=∠2,可得∠ECF=∠2,即△CMF是等腰三角形,又由MH⊥CD,可得CF=2CH,繼而求得BC的長;
(3)首先連接BC交CF于點(diǎn)O,易得△BCF是等邊三角形,繼而可得OM=MH,OE=FG,則可證得結(jié)論.
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∴∠1=∠ECF,
∵EF∥BC,
∴四邊形BCFE是平行四邊形,
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠ECF,
∴∠BCE=∠1,
∴BC=BE,
∴四邊形BCFE是菱形;
(2)∵∠1=∠ECF,∠1=∠2,
∴∠ECF=∠2,
∴CM=FM,
∵MH⊥CD,
∴CF=2CH=2×1=2,
∵四邊形BCFE是菱形;
∴BC=CF=2;
(3)連接BF交CE于點(diǎn)O,
∵G是BC中點(diǎn),
∴
∵
∴CG=CH,
在△CGM和△CHM中,
∴△CGM≌△CHM(SAS),
∴
即FG⊥BC,
∴CF=BF,
∵BC=CF,
∴BC=CF=BF,
∴△BCF是等邊三角形,
∴
∴
∵BF⊥CE,
∴OM=MH,
∵OE=OC=FG,
∴EM=FG+MH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=6,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒 個單位長度的速度沿線段AD運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿折線段D﹣O﹣C運(yùn)動,已知P、Q同時開始移動,當(dāng)動點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時,P、Q同時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.
(1)當(dāng)t=1秒時,求動點(diǎn)P、Q之間的距離;
(2)若動點(diǎn)P、Q之間的距離為4個單位長度,求t的值;
(3)若線段PQ的中點(diǎn)為M,在整個運(yùn)動過程中;直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動路徑的長度為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC的底邊BC長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,AB邊于E,F點(diǎn)若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn),則周長的最小值為
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:
如圖①,在△ABC的邊AB上取一點(diǎn)P,連接CP,可以把△ABC分成兩個三角形,如果這兩個三角形都是等腰三角形,我們就稱點(diǎn)P是△ABC的邊AB上的和諧點(diǎn).
解決問題:
(1)如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,試找出邊AB上的和諧點(diǎn)P,并說明理由:
(2)己知∠A=36°,△ABC的頂點(diǎn)B在射線l上(如圖③),點(diǎn)P是邊AB上的和諧點(diǎn),請?jiān)趫D③及備用圖中畫出所有符合條件的點(diǎn)B,用同一標(biāo)記標(biāo)上相等的邊,并寫出相應(yīng)的∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線經(jīng)過A,C兩點(diǎn),且與x軸交于另一點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)).
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)M是線段BC上的一動點(diǎn),過點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)E.求ME長的最大值;
(3)試探究當(dāng)ME取最大值時,在拋物線上、x軸下方是否存在點(diǎn)P,使以M,F(xiàn),B,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,點(diǎn)P在邊AB上,若△APC為以AC為腰的等腰三角形,則tan∠BCP=________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校落實(shí)新課改精神的情況,現(xiàn)以該校九年級二班的同學(xué)參加課外活動的情況為樣本,對其參加“球類”“繪畫類”“舞蹈類”“音樂類”“棋類”活動的情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)參加音樂類活動的學(xué)生人數(shù)為____人,參加球類活動的人數(shù)的百分比為____;
(2)請把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校學(xué)生共600人,那么參加棋類活動的大約有多少人?
(4)該班參加舞蹈類活動的4位同學(xué)中,有1位男生(用E表示)和3位女生(分別用F,G,H表示),現(xiàn)準(zhǔn)備從中選取兩名同學(xué)組成舞伴,請用列表或畫樹狀圖的方法求恰好選中一男一女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位750名職工積極參加向貧困地區(qū)學(xué)校捐書活動,為了解職工的捐數(shù)量,采用隨機(jī)抽樣的方法抽取30名職工作為樣本,對他們的捐書量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果共有4本、5本、6本、7本、8本五類,分別用A,B,C,D,E表示,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成了如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖,由圖中給出的信息解答下列問題:
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)這30名職工捐書本數(shù)的眾數(shù)是 本,中位數(shù)是 本;
(3)求這30名職工捐書本數(shù)的平均數(shù)是多少本?并估計(jì)該單位750名職工共捐書多少本?
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