Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，0），與y軸的交點(diǎn)為B，過(guò)A、B的直線為．

（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）由圖象寫出滿足的自變量x的取值范圍；

（3）在兩坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），B（0，3）；（2）x＜0或x＞4；（3）P1（0，），P2（，0）．

【解析】

（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y1，可得拋物線的解析式，根據(jù)自變量為零，可得B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)一次函數(shù)圖象在上方的部分是不等式的解集，觀察圖象可得到答案；

（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩點(diǎn)間的距離相等，可得P在線段的垂直平分線上，根據(jù)直線AB，可得AB的垂直平分線，根據(jù)自變量為零，可得P在y軸上，根據(jù)函數(shù)值為零，可得P在x軸上．

解：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：﹣16+13+c=0．解得c=3，

∴二次函數(shù)的解析式為，

∵當(dāng)x=0時(shí)，=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

（2）由圖象得直線在拋物線上方的部分，是x＜0或x＞4，

∴x＜0或x＞4時(shí)，；

（3）存在，解答如下：

根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩點(diǎn)間的距離相等，可得P在線段的垂直平分線上，作線段AB的垂直平分線l，垂足為C，

∵A（4，0），B（0，3），設(shè)直線AB解解析式為，

則有：，解得：，

∴直線AB的解析式為，

設(shè)AB的垂直平分線l的解析式為：，

∵直線l過(guò)AB的中點(diǎn)為（2，），

∴，解得：，

∴AB的垂直平分線l的解析式為，

①當(dāng)x=0時(shí)，y=，P1（0，），

②當(dāng)y=0時(shí)，x=，P2（，0），

綜上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形．