Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以每秒1cm的速度移動，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動，如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：

（1）當(dāng)運(yùn)動開始后1秒時(shí)，求△DPQ的面積；

（2）當(dāng)運(yùn)動開始后秒時(shí)，試判斷△DPQ的形狀；

（3）在運(yùn)動過程中，存在這樣的時(shí)刻，使△DPQ以PD為底的等腰三角形，求出運(yùn)動時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）S△DPQ＝30（cm2）；（2）△DPQ為直角三角形；（3）運(yùn)動開始后第6﹣18秒時(shí)，△DPQ是以PD為底的等腰三角形．

【解析】

（1）根據(jù)運(yùn)動時(shí)間求出AP，BQ，利用分割法求△DPQ的面積即可．

（2）分別求出DP2，PQ2，DQ2，進(jìn)而得到PQ2+DQ2＝DP2，得出答案；

（3）假設(shè)運(yùn)動開始后第x秒時(shí)，滿足條件，則有QP＝QD，表示出QP2，QD2，列出等式，構(gòu)建方程方程，求出方程的解，根據(jù)時(shí)間大于0秒小于6秒，即可解答．

解：（1）經(jīng)過1秒時(shí)，AP＝1，BQ＝2，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝12cm，

∴PB＝6﹣1＝5（cm），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2＝10（cm），

∴S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ＝72﹣×1×12﹣×6×2﹣×6×10＝30（cm2）．

（2）當(dāng)t＝秒時(shí)，

AP＝，BP＝6﹣＝，BQ＝×2＝3，CQ＝12﹣3＝9，

∴在Rt△DAP中，DP2＝DA2+AP2＝122+（）2＝，

在Rt△DCQ中，DQ2＝DC2+CQ2＝62+92＝117，

在Rt△QBP中，QP2＝QB2+BP2＝32+（）2＝，

∴DQ2+QP2＝117+＝，

∴DQ2+QP2＝DP2，

∴△DPQ為直角三角形；

（3）假設(shè)運(yùn)動開始后第x秒時(shí)，滿足條件，則：QP＝QD，

∵QP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，

QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62，

∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2，

整理，得：x2+36x﹣144＝0，

解得：x＝﹣18±6，

∵0＜6﹣18＜6，

∴運(yùn)動開始后第6﹣18秒時(shí)，△DPQ是以PD為底的等腰三角形．