Question

【題目】如圖,拋物線的對稱軸為直線x=2,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,5)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B.

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B. C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，連接PB、PC，若△BPC是以BC為直角邊的直角三角形，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上BC段有另一個動點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心作Q，使得Q與直線BC相切，在運(yùn)動的過程中是否存在一個最大Q?若存在，請直接寫出最大Q的半徑；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) P的坐標(biāo)為(3,8)或(-2,7)； (3)

【解析】

（1）根據(jù)對稱軸及A點(diǎn)坐標(biāo)得出B點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線BC解析式，再由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)得出拋物線解析式；

（2）分別過B、C兩點(diǎn)作BC的垂線，得出垂線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立解出P點(diǎn)；

（3）平移BC到與拋物線剛好相切之處，此時的切點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時Q點(diǎn)距BC的距離最大，也就是半徑最大．運(yùn)用等面積法進(jìn)行處理．設(shè)切線與y軸的交點(diǎn)為H，則△HBC與△QBC的面積相等，算出面積，再以BC為底，算出BC邊上的高即為答案．

(1)∵對稱軸為x=2,且拋物線經(jīng)過A(1,0)，

∴B(5,0).

把B(5,0),C(0,5)分別代入y=mx+n得,解得：，

∴直線BC的解析式為y=x5.

設(shè)y=a(x5)(x+1)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：5a=5，解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：.

（2）①過點(diǎn)C作,交拋物線于點(diǎn)，如圖，

則直線的解析式為y=x5,

由,解得： (舍去), ，

∴ (3,8)；

②過點(diǎn)B作,交拋物線于，如圖，

則的解析式為y=x+5，

由,解得： (舍去), ，

∴ (-2,7)；

∴P的坐標(biāo)為(3,8)或(-2,7)；

（3）由題意可知,Q點(diǎn)距離BC最遠(yuǎn)時,半徑最大.平移直線BC,使其與拋物線只有一個公共點(diǎn)Q(即相切)，設(shè)平移后的直線解析式為y=x+t，

由,消去y整理得，

△=,解得，

∴平移后與拋物線相切時的直線解析式為,且Q，

連接QC、QB，作QE⊥BC于E，如圖，

設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為H，連接HB，

則S△HBC=BOCH，

∵CH=5()=，

∴S△HBC=×5×=，

∴S△QBC=S△HBC=，

∵S△QBC=BCQE, BC=，

∴QE=，

即最大半徑為.