Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx-3與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），A(-1,0)，B(3,0)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值；

（3）點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使，，，這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）；（3）存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)，分別為F（﹣3，0），（1，0），（4+，0），（4﹣，0）．

【解析】

（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；

（2）將C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．由待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式．PE的長(zhǎng)實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，用x分別表示出P、E的縱坐標(biāo)，即可得到關(guān)于PE的長(zhǎng)、x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得PE的最大值；

（3）此題要分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對(duì)角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質(zhì)求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：a=1，b=﹣2，∴y=x2﹣2x﹣3．

（2）將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3），∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1．

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．

∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，∴當(dāng)x=時(shí)，PE的最大值=．

（3）存在．討論如下：

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)．

∵C（2，﹣3），G（0，﹣3），∴CG∥x軸，此時(shí)AF=CG=2，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0），因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；

③如圖，設(shè)F（x，0）．

∵ACFG是平行四邊形，∴AF的中點(diǎn)與CG的中點(diǎn)重合．

∵AF的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，∴C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，∴x2﹣2x﹣3=3，解得：x=1±，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1±，3），∴AF的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)=CG的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴ ，解得：x=，∴F的坐標(biāo)為（，0）．

綜上所述：存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)，分別為F（﹣3，0），（1，0），（4+，0），（4﹣，0）．